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        1. 已知圓M的方程為:x2+y2-2x-2y-6=0,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓N與圓M相內(nèi)切.
          (1)求圓N的方程;
          (2)圓N與x軸交于E、F兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列,求
          DE
          DF
          的取值范圍;
          (3)過(guò)點(diǎn)M作兩條直線分別與圓N相交于A、B兩點(diǎn),且直線MA和直線MB的傾斜角互補(bǔ),試判斷直線MN和AB是否平行?請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:化簡(jiǎn)圓M的方程為:x2+y2-2x-2y-6=0,為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心和半徑.
          (1)判定圓心N在圓M內(nèi)部,因而內(nèi)切,用|MN|=R-r,求圓N的方程;
          (2)根據(jù)圓N與x軸交于E、F兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列,列出關(guān)系,再求
          DE
          DF
          的表達(dá)式的取值范圍;
          (3)直線MA和直線MB的傾斜角互補(bǔ),故直線MA和直線MB的斜率存在,設(shè)直線MA的斜率為k,則直線MB的斜率為-k.得到直線MA的方程,直線MB的方程,聯(lián)立方程組,求出AB的斜率,判定與MN的斜率是否相等即可.
          解答:解:圓M的方程可整理為:(x-1)2+(y-1)2=8,故圓心M(1,1),半徑R=2
          2

          (1)圓N的圓心為(0,0),
          因?yàn)閨MN|=
          2
          <2
          2
          ,所以點(diǎn)N在圓M內(nèi),
          故圓N只能內(nèi)切于圓M.
          設(shè)其半徑為r.
          因?yàn)閳AN內(nèi)切于圓M,
          所以有:|MN|=|R-r|,
          2
          =|2
          2
          -r|,解得r=
          2

          或r=3
          2
          (舍去);
          所以圓N的方程為
          x2+y2=2.
          (2)由題意可知:E(-
          2
          ,0),F(xiàn)(
          2
          ,0).
          設(shè)D(x,y),由|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列,
          得|DO|2=|DE|×|DF|,
          即:
          (x+
          2
          )2+y2
          ×
          (x-
          2
          )2+y2
          =x2+y2,
          整理得:x2-y2=1.
          而=(-
          2
          -x,-y),
          =(
          2
          -x,-y),•
          =(-
          2
          -x)(
          2
          -x)+(-y)(-y)=x2+y2-2=2y2-1,由于點(diǎn)D在圓N內(nèi),
          故有
          x2+y2<2 
          x2-y2=1 
          ,由此得y2
          1
          2
          ,所以
          DE
          DF
          ∈[-1,0).
          (3)因?yàn)橹本MA和直線MB的傾斜角互補(bǔ),故直線MA和直線MB的斜率存在,
          且互為相反數(shù),設(shè)直線MA的斜率為k,則直線MB的斜率為-k.故直線MA的方程為
          y-1=k(x-1),
          直線MB的方程為
          y-1=-k(x-1),
          y-1=k(x-1)
          x2+y2=2 
          ,
          得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0.
          因?yàn)辄c(diǎn)M在圓N上,故其橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解,
          可得xA=
          k2-2k-1
          1+k2
          ,
          同理可得:xB=
          k2+2k-1
          1+k2
          ,
          所以kAB=
          yB-yA
          xB-xA
          =
          -k(xB-1)-k(xA-1)
          xB-xA
          =
          2k-k(xB+xA)
          xB-xA
          =1=kMN
          所以,直線AB和MN一定平行.
          點(diǎn)評(píng):本題考查圓與圓的位置關(guān)系,等差數(shù)列的性質(zhì),圓的公切線方程等知識(shí),考查邏輯思維能力,是中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知圓M的方程為(x-2)2+y2=1,直線l的方程為y=2x,點(diǎn)P在直線l上,過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
          (1)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (2)求
          PA
          PB
          的最小值;
          (3)求證:經(jīng)過(guò)A,P,M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2008屆第一次六校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)文科試卷(廣州深圳中山珠海惠州) 題型:044

          解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟

          已知圓M的方程為:(x+3)2+y2=100及定點(diǎn)N(3,0),動(dòng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng),線段PN的垂直平分線交圓M的半徑MP于Q點(diǎn),設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.

          (1)求曲線C的方程;

          (2)試問(wèn):過(guò)點(diǎn)T()是否存在直線l,使直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),且,(O為坐標(biāo)原點(diǎn))若存在求出直線l的方程,不存在說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

          已知圓M的方程為(x-2)2+y2=1,直線l的方程為y=2x,點(diǎn)P在直線l上,過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
          (1)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (2)求
          PA
          PB
          的最小值;
          (3)求證:經(jīng)過(guò)A,P,M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年江蘇省連云港市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(A卷)(解析版) 題型:解答題

          已知圓M的方程為(x-2)2+y2=1,直線l的方程為y=2x,點(diǎn)P在直線l上,過(guò)P點(diǎn)作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
          (1)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
          (2)求的最小值;
          (3)求證:經(jīng)過(guò)A,P,M三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

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