Question

橢圓

x2

9

+

y2

4

=1的右焦點(diǎn)為F，P₁，P₂，…，P₂₄為24個依逆時針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中P₁是橢圓的右頂點(diǎn)，并且∠P₁FP₂=∠P₂FP₃=∠P₃FP₄=…=∠P₂₄FP₁．若這24個點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)和為S，求S²的值．

Answer 1

分析：由橢圓的方程得到相應(yīng)a，b，c的值，若設(shè)|FP|=r，P到準(zhǔn)線的距離|PH|=d，F(xiàn)P與X軸正方向的夾角為θ，則得到

1

d

=

c

b2

（1+ecosθ），求和后，即可得到S²的值．

解答：解：由于橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1，則a=3，b=2，c=

5

，

b2

c

=

4

5

，
對于橢圓上任一點(diǎn)P，|FP|=r，P到準(zhǔn)線的距離|PH|=d，F(xiàn)P與X軸正方向的夾角為θ，則有
rcosθ+d=

b2

c

，

r

d

=e．
于是，d（1+ecosθ）=

b2

c

，則

1

d

=

c

b2

（1+ecosθ）
所以S=

24

i=1

1

di

=

c

b2

24

i=1

（1+ecosθ）=

c

b2

+

c

b2

×e

24

i=1

cosθ=

c

b2

故S²=（

c

b2

）²=(

24× 5

4

)2=180．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)，注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．