Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，橢圓， 為橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且異于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)， 在軸的上方，直線與圓的另一交點(diǎn)為，直線與圓的另一交點(diǎn)為，

（1）若，求直線的斜率；

（2）設(shè)與的面積分別為，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 的最大值為.

【解析】試題分析：（1）將長(zhǎng)度之比，通過(guò)向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比，由得，而坐標(biāo)是通過(guò)聯(lián)立直線和橢圓方程求得的。（2）由三角形的正弦面積公式得到，根據(jù)三角型相似可以將線段長(zhǎng)度之比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之比， ， ，最終得到關(guān)于斜率的方程，求出來(lái)即可。

（Ⅰ）設(shè)直線的方程為

與橢圓方程聯(lián)立得

求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 的縱標(biāo)

與圓方程聯(lián)立得，

求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 的縱標(biāo)

由得，又，解得

（Ⅱ）由與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得的坐標(biāo)： ， ， 的斜率為（也可以另外證明）

，同理

當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.