Question

（2013•天河區(qū)三模）設(shè)m∈R，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量

a

=(x+

3

，my)，向量

b

=(x-

3

，y)，

a

⊥

b

，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡為曲線E．
（I）求曲線E的方程，并說(shuō)明該方程所表示曲線的形狀；
（II） 已知m=

3

4

，F(xiàn)（0，-1），直線l：y=kx+1與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△FMN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)的實(shí)數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡，然后對(duì)m的取值分類討論，得到曲線E的不同形狀；
（Ⅱ）把m=

3

4

代入曲線E的方程，求出具體的橢圓方程，由直線系方程知直線l過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，則△FMN的周長(zhǎng)為定值，設(shè)△FMN的內(nèi)切圓半徑為r，把三角形的面積用r表示，可知當(dāng)△FMN的面積最大時(shí)其內(nèi)切圓半徑最大，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，把△FMN的面積用含有k的代數(shù)式表示，換元后利用導(dǎo)數(shù)求△FMN的最大值，進(jìn)一步求出r的最大值，則△FMN的內(nèi)切圓的面積的最大值可求．

解答：解：（Ⅰ）

a

=(x+

3

，my)，向量

b

=(x-

3

，y)，
因?yàn)?span id="39ozvn1" class="MathJye">

a

•

b

，所以

a

•

b

=x2+my2-3=0，即x²+my²=3．
當(dāng)m=0時(shí)，方程表示兩直線，方程為x=±

3

；
當(dāng)m=1時(shí)，方程表示的是以原點(diǎn)為圓心，以

3

為半徑的圓；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，當(dāng)m＞1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m＜0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．
（Ⅱ）當(dāng)m=

3

4

時(shí)，曲線E的方程為橢圓

y2

4

+

x2

3

=1，F(xiàn)（0，-1）為橢圓的下焦點(diǎn)，
直線l：y=kx+1過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)F'（0，1），則△FMN的周長(zhǎng)等于4a=8，
設(shè)△FMN的內(nèi)切圓的徑r，
則S△FMN=

1

2

(MN+FM+FN)r=4r，因此，若S_△FMN最大，r就最大，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨x₁＞0，x₂＜0，SAMN=

1

2

|FF′|(x1-x2)=x1-x2，
由

y=kx+1 y2 4 + x2 3 =1

，得（3k²+4）x²+6kx-9=0
得x1=

-3k+6 k2+1

3k2+4

，x2=

-3k-6 k2+1

3k2+4

，
則S△FMN=

1

2

|FF′|•(x1-x2)=x1-x2=

12 k2+1

3k2+4

，
令t=

k2+1

，則t≥1，
則S△FMN=

12 k2+1

3k2+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，
令f（t）=3t+

1

t

，則f′（t）=3-

1

t2

，
當(dāng)t≥1時(shí)，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
有f（t）≥f（1）=4，所以S_△FMN≤

12

4

=3，
即當(dāng)t=1，k=0時(shí)，S_△FMN≤

12

4

=3，
由S_△FMN=4r=3，∴r_max=

3

4

，
這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為πr2=π×(

3

4

)2=

9

16

π．
故k=0，△AMN內(nèi)切圓面積的最大值為

9

16

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程的求法，考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了換元法和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，是有一定難度題目．