Question

（1）如圖，D是Rt△ABC的斜邊AB上的中點(diǎn)，E和F分別在邊AC和BC上，且ED⊥FD，求證：EF²=AE²+BF²（EF²表示線段EF長(zhǎng)度的平方）（嘗試用向量法證明）
（2）已知函數(shù)f（x）=x³-3x圖象上一點(diǎn)P（1，-2），過(guò)點(diǎn)P作直線l與y=f（x）圖象相切，但切點(diǎn)異于點(diǎn)P，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）連接EF，取EF的中點(diǎn)為G，根據(jù)向量的加法法則得

AE

+

BF

=2

DG

，又|

EF

|=2|

DG

|，從而有

EF

2=(2

DG

)2=(

AE

+

BF

)2，又AC⊥BC，展開上式即得證．                    
（2）由已知可得斜率函數(shù)為f′（x）=3x²-3，進(jìn)而求出所過(guò)點(diǎn)切線的斜率，設(shè)另一切點(diǎn)為（x₀，y₀），代入點(diǎn)斜式公式，求出該點(diǎn)切線方程，再由條件計(jì)算．

解答：解：（1）連接EF，取EF的中點(diǎn)為G，
又D是Rt△ABC的斜邊AB上的中點(diǎn)，
∴

DG

=

DA

+

AE

+

EG

，

DG

=

DB

+

BF

+

FG

，
兩式相加，注意到

DA

+

DB

=

0

，

EG

+

FG

=

0

，
得

AE

+

BF

=2

DG

，又在直角三角形EFD中，|

EF

|=2|

DG

|，
故|

EF

|2=(2|

DG

|)2，即

EF

2=(2

DG

)2=(

AE

+

BF

)2
又AC⊥BC，展開上式即EF²=AE²+BF²
得證．                                     （6分）
（其他方法也給分，向量的代數(shù)運(yùn)算要引起學(xué)生的關(guān)注）
（2）設(shè)為（x₀，y₀）函數(shù)f（x）=x³-3x圖象上任一點(diǎn)，
易得f′（x）=3x²-3，則f′(x0)=3x02-3，
故（x₀，y₀）處切線為y-y0=(3x02-3)(x-x0)
又知過(guò)P（1，-2）點(diǎn)，代入解方程得：x₀=1（舍），x0=-

1

2

故所求直線的斜率k=-

9

4

，從而切線方程為：9x+4y-1=0（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是向量在幾何中的應(yīng)用、直線的點(diǎn)斜式方程的求解、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等，屬于基礎(chǔ)題．