Question

已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，2），B（1，3），C（2，5），l為BC邊上的高所在直線．
（1）求直線l的方程；
（2）直線l與橢圓相交于D、E兩點(diǎn)，△CDE是以C（2，5）為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求該橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系即可得到k_l，再利用點(diǎn)斜式即可得出；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)可得底邊DE的中點(diǎn)F的坐標(biāo)，下面轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)弦的問題，把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立及利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．
解答：解：（1）k_BC=2，因?yàn)閘為BC邊上的高所在直線，∴l(xiāng)⊥BC，∴k_l•k_BC=-1，解得，
直線l的方程為：y-2=（x-3），即：x+2y-7=0
（2）過C作CF⊥DE，依題意，知F為DE中點(diǎn)，直線CF可求得為：2x-y+1=0．
聯(lián)立兩直線方程可求得：F（1，3），
由橢圓方程與直線ED聯(lián)立方程組，
可得：（a²+4b²）y²-28b²y+49b²-a²b²=0，化為，
又CF=，所以，|DE|=2=2，即=2，
所以，=4，即36-4=4，解得：，
所以，所求方程為：
點(diǎn)評：本題綜合考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、中點(diǎn)問題、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力和計(jì)算能力．