Question

（09年湖北八校聯(lián)考理）（13分）

如圖，已知曲線與拋物線的交點(diǎn)分別為、，曲線和拋物線在點(diǎn)處的切線分別為、，且、的斜率分別為、.

（Ⅰ）當(dāng)為定值時(shí)，求證為定值（與無關(guān)），并求出這個(gè)定值；

（Ⅱ）若直線與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)取得最小值時(shí)，求曲線和的方程。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

曲線的方程可寫成：，∴

∴…2′

又…………4′

∴為定值。……6′

（Ⅱ）如圖設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

由（Ⅰ）知：，則直線.

∵過點(diǎn)，則，即，∴點(diǎn).…8′

將代入曲線的方程得.

∴.

由重要不等式得.……10′

當(dāng)且僅當(dāng)“”成立時(shí)，有，解得

∴，.……13′