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        1. 精英家教網(wǎng) 如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,點N是BC的中點,點M在CC1上.設(shè)二面角A1-DN-M的大小為θ,
          (1)當(dāng)θ=90°時,求AM的長;
          (2)當(dāng)cosθ=
          6
          6
          時,求CM的長.
          分析:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,D-xyz,設(shè)CM=t(0≤t≤2),通過
          DN
          n1
          =0
          DM
          n1
          =0
          求出平面DMN的法向量為
          n1
          ,
          DA1
          n2
          =0
          ,
          DN
          n2
          =0
          求出平面A1DN的法向量為
          n2
          ,推出
          n1
          n2
          =-5t+1
          (1)利用θ=90°求出M的坐標(biāo),然后求出AM的長.
          (2)利用cos
          n1
          ,n2
          =
          n1
          n2
          |
          n1
          | |
          n2
          |
          以及cosθ=
          6
          6
          ,求出CM 的長.
          解答:解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,D-xyz,設(shè)CM=t(0≤t≤2),則各點的坐標(biāo)為A(1,0,0),A1(1,0,2),
          N(
          1
          2
          ,1,0),M(0,1,t);
          所以
          DN
          =(
          1
          2
          ,1,0).
          DA1
          =(1,0,2),
          DM
          =(0,1,t)
          設(shè)平面DMN的法向量為
          n1
          =(x1,y1,z1),則
          DN
           •
          n1
          =0
          DM
          n1
          =0
          ,
          即x1+2y1=0,y1+tz1=0,令z1=1,則y1=-t,x1=2t所以
          n1
          =(2t,-t,1),
          設(shè)平面A1DN的法向量為
          n2
          =(x2,y2,z2),則
          DA1
          n2
          =0
          DN
          n2
          =0
          ,
          即x2+2z2=0,x2+2y2=0,令z2=1則y2=1,x2=-2所以
          n2
          =(-2,1,1),
          n1
          n2
          =-5t+1

          (1)因為θ=90°,所以
          n1
          n2
          =-5t+1=0
          解得t=
          1
          5
          從而M(0,1,
          1
          5
          ),
          所以AM=
          12+12+(
          1
          5
          )
          2
          =
          51
          5

          (2)因為|
          n1
          | =
          5t2+1
          ,|
          n2
          | =
          6
          所以,
          cos
          n1
          ,n2
          =
          n1
          n2
          |
          n1
          | |
          n2
          |
          =
          -5t+1
          6?
          ×
          5t2+1?

          因為
          n1
          ,n2
          =θ或π-θ,所以
          -5t+1
          6?
          ×
          5t2+1?
          =
          6
          6
          解得t=0或t=
          1
          2

          根據(jù)圖形和(1)的結(jié)論,可知t=
          1
          2
          ,從而CM的長為
          1
          2

          精英家教網(wǎng)
          點評:本題是中檔題,考查直線與平面,直線與直線的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,向量法解答立體幾何問題,方便簡潔,但是注意向量的夾角,計算數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=4,AB=2,E是棱CC1上的一個動點.
          (Ⅰ)求證:BE∥平面AA1D1D;
          (Ⅱ)當(dāng)CE=1時,求二面角B-ED-C的大小;
          (Ⅲ)當(dāng)CE等于何值時,A1C⊥平面BDE.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中(底面是正方形的直棱柱),側(cè)棱AA′=
          3
          AB=
          2
          ,則二面角A′-BD-A的大小為(  )
          A、30°B、45°
          C、60°D、90°

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•青島一模)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AA1=
          2
          a
          ,E為CC1的中點,AC∩BD=O.
          (Ⅰ) 證明:OE∥平面ABC1;
          (Ⅱ)證明:A1C⊥平面BDE.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A(x0,y0)AB=2,點E、M分別為A1B、C1C的中點.
          (Ⅰ)求證:EM∥平面A1B1C1D1;
          (Ⅱ)求幾何體B-CME的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2009•宜昌模擬)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=1,AA1=2.過頂點D1在空間作直線l,使l與直線AC和BC1所成的角都等于60°,這樣的直線l最多可作( 。

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          同步練習(xí)冊答案