Question

（2012•北京模擬）在數(shù)列{a_n}中，a1=

3

，an+1=

1+ a 2 n -1

an

(n∈N*)．?dāng)?shù)列{b_n}滿足0＜bn＜

π

2

，且 a_n=tanb_n（n∈N^*）．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．若對(duì)于任意的n∈N^*，不等式Sn≥(-1)nλbn恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}中，a1=

3

，an+1=

1+ a 2 n -1

an

(n∈N*)．?dāng)?shù)列{b_n}滿足0＜bn＜

π

2

，且 a_n=tanb_n（n∈N^*）．易得b1=

π

3

，b2=

π

6

．
（2）由an+1=

1+ a 2 n -1

an

，a_n=tanb_n，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，可得 tanbn+1=tan

bn

2

，進(jìn)而確定數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)和公比，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式，可得答案．
（3）由（2）中數(shù)列的通項(xiàng)，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，分n是奇數(shù)和n是偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：（1）依題意得 a1=

3

，a2=

1+ a 2 1 -1

a1

=

3

3

，
又 a₁=tanb₁，a₂=tanb₂，且 b1， b2∈(0，

π

2

)，
所以 b1=

π

3

，b2=

π

6

．
（2）因?yàn)?nbsp;an+1=

1+ a 2 n -1

an

，a_n=tanb_n，且 0＜bn＜

π

2

，
所以 an+1=

1+tan2bn -1

tanbn

=

1 cosbn -1

sinbn cosbn

=

1-cosbn

sinbn

=

2sin2 bn 2

2sin bn 2 cos bn 2

=tan

bn

2

．
所以 tanbn+1=tan

bn

2

．
所以 bn+1=

bn

2

（n∈N^*）．
因此數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為

π

3

，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
所以 bn=

π

3

(

1

2

)n-1．
（3）由 bn=

π

3

(

1

2

)n-1，得 Sn=

π

3

[2-(

1

2

)n-1]．
由Sn≥(-1)nλbn，得 （-1）ⁿλ≤2ⁿ-1．
①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，λ≥1-2ⁿ．
由于上式對(duì)正奇數(shù)恒成立，故 λ≥-1．
所以，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，λ≥-1．
②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，λ≤2ⁿ-1．
由于上式對(duì)正偶數(shù)恒成立，故 λ≤3．
所以，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，λ≤3．

點(diǎn)評(píng)：二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正切函數(shù)在區(qū)間(-

π

2

，

π

2

)上的性質(zhì)，等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式