Question

已知函致f （x）=x³+bx²+cx+d．
（I）當b=0時，證明：曲線y=f（x）與其在點（0，f（0））處的切線只有一個公共點；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為12x+y-13=0，且它們只有一個公共點，求函數(shù)y=f（x）的所有極值之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當b=0時，f（x）=x³+cx+d，f′（x）=3x²+c．f（0）=d，f′（0）=c．曲線y=f（x）與其在點（0，f（0））處的切線為y=cx+d．由此能夠證明曲線y=f（x）與其在點（0，f（0））處的切線只有一個公共點．
（Ⅱ）由已知，切點為（1，1）．又f′（x）=3x²+2bx+c，于是

f(1)=1 f′(1)=-12

，由此能夠求出函數(shù)y=f（x）的所有極值之和．

解答：（Ⅰ）證明：當b=0時，f（x）=x³+cx+d，
f′（x）=3x²+c．
f（0）=d，f′（0）=c．…（2分）
曲線y=f（x）與其在點（0，f（0））處的切線為y=cx+d．
由

y=x3+cx+d y=cx+d

，消去y，得x³=0，x=0．
所以曲線y=f（x）與其在點（0，f（0））處的切線只有一個公共點即切點．…（5分）
（Ⅱ）解：由已知，切點為（1，1）．
又f′（x）=3x²+2bx+c，于是

f(1)=1 f′(1)=-12

，
即

1+b+c+d=1 3+2b+c=-12

，
解得c=-2b-15，d=b+15．
從而f（x）=x³+bx²-（2b+15）x+b+15．…（8分）
由

y=x3+bx2-(2b+15)x+b+15 12x+y-13=0

，
消去y，得x³+bx²-（2b+3）x+b+2=0．
因直線12x+y-13=0與曲線y=f（x）只有一個公共點（1，1），
則方程x³+bx²-（2b+3）x+b+2
=（x-1）[x²+（b+1）x-b-2]
=（x-1）（x-1）（x+b+2）
故b=-3．…（10分）
于是f（x）=x³-3x²-9x+12，
f′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值17	↘	極小值-15	↗

由此知，函數(shù)y=f（x）的所有極值之和為17-15=2．…（12分）

點評：本題考查曲線與其切線只有一個公共點的證明，考查函數(shù)所有的極值之和的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質(zhì)的靈活運用．