Question

已知函數(shù)f（x）=x（1-x²），x∈R．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，指出f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）試作出函數(shù)f（x）（x∈R）的簡(jiǎn)圖．

Answer 1

分析：（1）可以利用導(dǎo)數(shù)求最大值，也可利用均值不等式進(jìn)行求解，將f（x）=x（1-x²）變形得y²=x²（1-x²）²=

1

2

•2x²（1-x²）（1-x²），利用和定積最大，求出最值，注意等號(hào)成立條件．
（2）“f（x）的單調(diào)性，并用定義證明”，即設(shè)x₂＞x₁＞0，比較f（x₂）-f（x₁）與0的大�。�
（3）函數(shù)f（x）（x∈R）的簡(jiǎn)圖中必須注明特殊的點(diǎn)：（-1，0）、（0，0）、（1，0），有對(duì)稱性．

解答：解：（1）∵x＞0，欲求f（x）的最大值，必有1-x²＞0，
y²=x²（1-x²）²=

1

2

•2x²（1-x²）（1-x²）≤

1

2

•[

2x2+(1-x2)+(1-x2)

3

]³=

4

27

，
∴y≤

2

3 3

=

2 3

9

．
當(dāng)且僅當(dāng)2x²=1-x²，即x=

3

3

時(shí)，取“=”，即f（x）_max=f（

3

3

）=

2 3

9

．

（2）由（1）知，
當(dāng)x∈（0，

3

3

]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，x∈[

3

3

，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．
設(shè)x₂＞x₁＞0，則
f（x₂）-f（x₁）=-x₂³+x₂-（-x₁³+x₁）
=（x₂-x₁）-（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²）
=（x₂-x₁）[1-（x₂²+x₁x₂+x₁²）]．
當(dāng)0＜x₁＜x₂≤

3

3

時(shí)，x₂-x₁＞0，1-（x₂²+x₁x₂+x₁²）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，

3

3

]上遞增．
當(dāng)

3

3

≤x₁＜x₂時(shí)，x₂-x₁＞0，1-（x₂²+x₁x₂+x₁²）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在[

3

3

，+∞）上遞減．
（3）注：圖象過(guò)點(diǎn)（-1，0）、（0，0）、（1，0），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用基本不等式求最值的方法，函數(shù)單調(diào)性的證明以及函數(shù)圖象．
第（1）題也可用導(dǎo)數(shù)解決．
∵f′（x）=1-3x²，
令f′（x）=0，∴x=±

3

3

．
又x＞0，∴x=

3

3

．
通過(guò)檢驗(yàn)單調(diào)性知，當(dāng)x=

3

3

時(shí)，f（x）取得最大值，其最大值為

2 3

9

，以下解法同上．