Question

（本題滿分14分）

如圖3，在四棱錐P—ABCD中，底面為直角梯形，AD//BC，ÐBAD=90°，PA^底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M，N分別為PC、PB的中點(diǎn).

（1）求證：PB^DM；

（2）求BD與平面ADMN所成角的大小；

（3）求二面角B—PC—D的大小.

Answer 1

（本小題滿分14分）

解：建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意，得

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），

P（0，0，2）.              （2分）

（1）因?yàn)?i>M為PC的中點(diǎn)，所以M（1，，1）.

，.                 （3分）

因?yàn)?img width=161 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/157/158157.gif" >，所以PB^DM.      （5分）

（2），.

因?yàn)?img width=85 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/160/158160.gif" >，所以PB^AD.

又由（1）知PB^DM，且ADÇDM=D，所以PB^平面ADMN，

即為平面ADMN的法向量.                             （6分）

因此的余角等于BD與平面ADMN所成的角.       （7分）

因?yàn)?img width=215 height=52 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/163/158163.gif" >，所以，    （8分）

所以BD與平面ADMN所成的角.                         （9分）

（3），，設(shè)平面PBC的法向量為，則

由得解得

令，得.                                   （10分）

，，設(shè)平面PCD的法向量為，則

由得解得

令，得.                                （11分）

因?yàn)?img width=200 height=53 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/182/158182.gif" >，                       （12分）

所以，依題意可得二面角B—PC—D的大小為.          （14分）