Question

【題目】已知短軸長為2的橢圓，直線的橫、縱截距分別為，且原點(diǎn)到直線的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)滿足，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）.（2）或.

【解析】試題分析：直線的方程有參數(shù)，利用原點(diǎn)到其距離為可以得到的大小，從而得到橢圓的方程．（2）中的三點(diǎn)滿足向量關(guān)系式，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入，可以得到三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，而在橢圓上，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足關(guān)系式，再利用兩點(diǎn)在直線上，得到關(guān)于的一個(gè)關(guān)系式，利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為的方程可以解出的值．

解析：（1）因?yàn)闄E圓的短軸長為2，故.依題意設(shè)直線的方程為： ，由.解得，故橢圓的方程為.

（2）設(shè)

當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯示不符合題意.

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)， ，設(shè)其方程為，由，得，所以①.

因?yàn)?/span>，所以.又點(diǎn)在橢圓上，∴

.又∵，

∴②，將，及①代入②得，即或.故直線的方程為或.