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        1. 如果函數(shù)f(x)同時滿足下列條件:①在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù),②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立,我們把這一規(guī)律稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),并把其中的ξ稱為中值.有下列命題:
          ①若函數(shù)f(x)在(a,b)具有“Lg”性質(zhì),ξ為中值,點A(a,f(a)),B(b,f(b)),則直線AB的斜率為f′(ξ);
          ②函數(shù)y=數(shù)學(xué)公式在(0,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且中值ξ=數(shù)學(xué)公式,f′(ξ)=-數(shù)學(xué)公式;
          ③函數(shù)f(x)=x3在(-1,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),但中值ξ不唯一;
          ④若定義在[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)對任意的x1、x2∈[a,b],x1<x2,有數(shù)學(xué)公式[f(x1)+f(x2)]<f(數(shù)學(xué)公式)恒成立,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且必有中值ξ=數(shù)學(xué)公式
          其中你認(rèn)為正確的所有命題序號是 ________.

          ①②
          分析:對每一個命題進(jìn)行逐一判定是否滿足函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),對于①根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行判定,對于②,函數(shù)y在(0,2)上連續(xù)且可導(dǎo),代值計算可得兩端點連線的斜率存在x=時的導(dǎo)數(shù)值與之相等,對于③,舉反例進(jìn)行判定即可,對于④,只能保證f(x)是上凸函數(shù),不能保證中值一定在中點處進(jìn)行判定.
          解答:對于①,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義立即可得正確;
          對于②,函數(shù)y在(0,2)上連續(xù)且可導(dǎo),代值計算可得兩端點連線的斜率為-
          又y'=,當(dāng)x=時,y'=-,故②正確.
          對于③,兩端點連線斜率為3
          而f'(x)=3x2,令3x2=3,x=±1,在(-1,2)內(nèi)只有一個中值ξ=1,故③錯誤;
          對于④,[f(x1)+f(x2)]<f()只能保證f(x)是上凸函數(shù),不能保證中值一定在中點處.④錯誤
          故答案為:①②
          點評:本題題意比較新穎,主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,以及函數(shù)恒成立問題和直線的斜率,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如果函數(shù)f(x)同時滿足下列條件:①在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù),②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立,我們把這一規(guī)律稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),并把其中的ξ稱為中值.有下列命題:
          ①若函數(shù)f(x)在(a,b)具有“Lg”性質(zhì),ξ為中值,點A(a,f(a)),B(b,f(b)),則直線AB的斜率為f′(ξ);
          ②函數(shù)y=
          2-
          x2
          2
          在(0,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且中值ξ=
          2
          ,f′(ξ)=-
          2
          2
          ;
          ③函數(shù)f(x)=x3在(-1,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),但中值ξ不唯一;
          ④若定義在[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)對任意的x1、x2∈[a,b],x1<x2,有
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]<f(
          x1+x2
          2
          )恒成立,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且必有中值ξ=
          x1+x2
          2

          其中你認(rèn)為正確的所有命題序號是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•寧波二模)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(3a+1)x+(2a+1),其中a∈R.
          (Ⅰ)如果x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點,求實數(shù)a的值及f(x)的最大值;
          (Ⅱ)求實數(shù)a的值,使得函數(shù)f(x)同時具備如下的兩個性質(zhì):
          ①對于任意實數(shù)x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,
          f(x1)+f(x2)
          2
          <f(
          x1+x2
          2
          )
          恒成立;
          ②對于任意實數(shù)x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,
          f(x1)+f(x2)
          2
          >f(
          x1+x2
          2
          )
          恒成立.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(3a+1)x+(2a+1),其中a∈R.
          (Ⅰ)如果x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點,求實數(shù)a的值及f(x)的最大值;
          (Ⅱ)求實數(shù)a的值,使得函數(shù)f(x)同時具備如下的兩個性質(zhì):
          ①對于任意實數(shù)x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,數(shù)學(xué)公式恒成立;
          ②對于任意實數(shù)x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2,數(shù)學(xué)公式恒成立.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年四川省成都市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          如果函數(shù)f(x)同時滿足下列條件:①在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)連續(xù),②在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ(a<ξ<b),使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立,我們把這一規(guī)律稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),并把其中的ξ稱為中值.有下列命題:
          ①若函數(shù)f(x)在(a,b)具有“Lg”性質(zhì),ξ為中值,點A(a,f(a)),B(b,f(b)),則直線AB的斜率為f′(ξ);
          ②函數(shù)y=在(0,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且中值ξ=,f′(ξ)=-;
          ③函數(shù)f(x)=x3在(-1,2)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),但中值ξ不唯一;
          ④若定義在[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)對任意的x1、x2∈[a,b],x1<x2,有[f(x1)+f(x2)]<f()恒成立,則函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)具有“Lg”性質(zhì),且必有中值ξ=
          其中你認(rèn)為正確的所有命題序號是    

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