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        1. 精英家教網(wǎng)分別以雙曲線G:
          x2
          2
          -
          y2
          2
          =1
          的焦點為頂點,以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C,過橢圓C的右焦點作與x、y兩軸均不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點.
          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)在y軸上是否存在點N(0,n),使得(
          NA
          +
          NB
          )•
          AB
          =0
          ?若存在,求出n的取值范圍;若不存在,說明理由.
          分析:(I)依題意可設(shè)橢圓C的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,a2=4,c2=2,b2=2.由此可知橢圓C的方程為
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1.

          (II)橢圓C的右焦點為F(
          2
          ,0)
          ,設(shè)直線l的方程為y=k(x-
          2
          ),k≠0.
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1
          y=k(x-
          2
          )
          (1+2k2)x2-4
          2
          k2x+4k2-4=0.
          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),記AB的中點為M(x0,y0),M(
          2
          2
          k2
          1+2k2
          ,-
          2
          k
          1+2k2
          )
          ,由此入手能夠推導出n的取值范圍.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(I)依題意可設(shè)橢圓C的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,
          且a2=2+2+=4,c2=a2-b2=2,∴b2=2.(2分)
          所以橢圓C的方程為
          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1.
          (4分)
          (II)橢圓C的右焦點為F(
          2
          ,0)

          設(shè)直線l的方程為y=k(x-
          2
          ),k≠0.

          x2
          4
          +
          y2
          2
          =1
          y=k(x-
          2
          )

          (1+2k2)x2-4
          2
          k2x+4k2-4=0.
          (6分)
          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),記AB的中點為M(x0,y0),
          x0=
          x1+x2
          2
          =
          2
          2
          k2
          1+2k2
          ,∴y0=k(x0-
          2
          )=-
          2
          k
          1+2k2
          ,
          M(
          2
          2
          k2
          1+2k2
          ,-
          2
          k
          1+2k2
          )
          ,
          若存在點N(0,n),使得(
          NA
          +
          NB
          )•
          AB
          =0

          等價于存在點N(0,n),使得2
          NM
          AB
          =0

          從而
          -
          2
          k
          1+2k2
          -n
          2
          2
          k2
          1+2k2
          •k=-1
          ,(8分)
          解得n=
          2
          k
          1+2k2
          =
          2
          1
          k
          +2k
          .k≠0

          k>0時,
          1
          k
          +2k≥2
          2
          ,當且僅當k=
          2
          2
          時取等號.(10分)
          k<0時,
          1
          k
          +2k=-[(-
          1
          k
          )+(-2k)]≤-2
          2

          當且僅當k=-
          2
          2
          時取等號.(11分)
          所以存在點N(0,n),使得(
          NA
          +
          NB
          )•
          AB
          =0.

          且n的取值范圍是[-
          1
          2
          ,0)∪(0,
          1
          2
          ].
          (14分)
          點評:本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系,解題時要認真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,仔細解答.
          練習冊系列答案
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          5
          ,0)
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          5
          2

          (1)求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程;
          (2)如圖,已知過點M(x1,y1)的直線l1:x1x+4y1y=4與過點N(x2,y2)(其中x2≠x)的直線l2:x2x+4y2y=4的交點E在雙曲線C上,直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點,求△OGH的面積.精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)

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          (2)如圖,已知過點M(x1,y1)的直線l1:x1x+4y1y=4與過點N(x2,y2)(其中x2≠x1)的直線l2:x2x+4y2y=4的交點E在雙曲線C上,直線MN與雙曲線的兩條漸近線分別交于G,H兩點,求的值。

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