Question

（2007•奉賢區(qū)一模）已知復(fù)數(shù)：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），記f（x）=Re（z₁•z₂）
（1）試寫出f（x）關(guān)于x的函數(shù)解析式
（2）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，求k的值
（3）求證：對任意實(shí)數(shù)m，由（2）所得函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+m的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi，求出z₁•z₂后，結(jié)合f（x）=Re（z₁•z₂），可得f（x）關(guān)于x的函數(shù)解析式
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于k的方程，解方程可求出k的值
（3）由（2）中結(jié)論，聯(lián)立方程y=log₂（2^x+1）-

1

2

x和y=

1

2

x+m，即2^x•（2^m-1）=1，分別討論 m=0，m＜0，m＞0，三種情況下函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+m的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到答案．

解答：解：（1）∵z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi
∴z₁•z₂=[log₂（2^x+1）+ki]•（1-xi）
=[log₂（2^x+1）+kx]+[k-x•log₂（2^x+1）+ki]i（2分）
f（x）=Re（z₁•z₂）=log₂（2^x+1）+kx（2分）
（2）設(shè)定義域R中任意實(shí)數(shù)，由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
得：f（-x）=f（x）（4分）
log₂（2^x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx
2kx=log₂（

2-x-1

2x+1

）=-x
（2k+1）x=0
得：k=-

1

2

（8分）
證明：（3）由（2）得：f（x）=log₂（2^x+1）-

1

2

x
聯(lián)立方程：y=log₂（2^x+1）-

1

2

x和y=

1

2

x+m
得：log₂（2^x+1）-

1

2

x=

1

2

x+m （10分）
即m=log₂（2^x+1）-x
log₂（2^x+1）=x+m=log₂2^（x+m）
得：2^x+1=2^（x+m）
2^x•（2^m-1）=1（11分）
若 m=0   方程無解（12分）
若 m＜0，2^m-1＜0，2^x＜0方程無解（13分）
若m＞0  2^x=

1

2m-1

x=log₂

1

2m-1

方程有唯一解（14分）
對任意實(shí)數(shù)m，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

1

2

x+m的圖象的交點(diǎn)最多只有一個(gè)．（15分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解方法，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，是復(fù)數(shù)與函數(shù)三要素，性質(zhì)，圖象的綜合應(yīng)用，難度較大．