Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin(2x+

π

3

)（x∈R），有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）的表達(dá)式可改寫(xiě)為y=4cos(2x-

π

6

)；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

π

6

，0)對(duì)稱(chēng)；
④y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-

π

6

對(duì)稱(chēng)．
其中正確的命題的序號(hào)是

 

．（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：首先根據(jù)函數(shù)求出最小正周期，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式求出對(duì)稱(chēng)中心，然后根據(jù)圖象分別求出最大值和最小值，最后綜合判斷選項(xiàng)．

解答：解：函數(shù)f（x）=4sin(2x+

π

3

)的最小正周期T=π，
由相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的距離是

T

2

=

π

2

知①錯(cuò)．
利用誘導(dǎo)公式得f（x）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]
=4cos(

π

6

-2x)=4cos(2x-

π

6

)，知②正確．
由于曲線(xiàn)f（x）與x軸的每個(gè)交點(diǎn)都是它的對(duì)稱(chēng)中心，
將x=

π

6

代入得f（x）=4sin

2π

3

≠0，
因此點(diǎn)（

π

6

，0）不是f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，
故命題③錯(cuò)誤．
曲線(xiàn)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸必經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，且與y軸平行，而x=-

π

6

時(shí)y=0，點(diǎn)
（-

π

6

，0）不是最高點(diǎn)也不是最低點(diǎn)，
故直線(xiàn)x=-

π

6

不是圖象的對(duì)稱(chēng)軸，因此命題④不正確．
故答案為：②

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，誘導(dǎo)公式的利用，以及正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．