Question

【題目】已知直線：與拋物線切于點(diǎn)，直線：過(guò)定點(diǎn)Q，且拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為.

（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與拋物線交于(異于點(diǎn)P)兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1），（1，2）；（2）存在，

【解析】

（1）由直線恒過(guò)點(diǎn)點(diǎn)及拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為，求出拋物線的方程，再由直線與拋物線相切，即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得直線PA，PB的斜率，求出斜率之和為定值，即存在實(shí)數(shù)使得斜率之和為定值.

（1）由題意，直線變?yōu)?/span>2x+1-m(2y+1)=0，所以定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，

由拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到其焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為，

可得，解得或（舍去），

故拋物線C的方程為

又由消去y得，

因?yàn)橹本�與拋物線C相切，所以，解得，

此時(shí)，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，2）

（2）設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，點(diǎn)，

聯(lián)立，消去x得，

則，

依題意，可得，解得m<-1或，

由（1）知P（1，2），

可得，

同理可得，

所以

=，

故存在實(shí)數(shù)=滿足條件.