Question

已知函數(shù)圖象在x=1處的切線方程為2y-1=0．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若△ABC的三個頂點（B在A、C之間）在曲線y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，試探究與的大小關系，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導得：f′（x）=，
由題意得：f′（1）=0，f（1）=，
∴=0，=，
解得a=1，b=0，…（3分）
∴由f′（x）=-＞0，解得：x＜-1或x＞1；
由f′（x）=-＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）或（1，+∞）上是減函數(shù)，在（-1，1）上是增函數(shù)，
則f（x）的極小值為f（-1）=-，f（x）的極大值為f（1）=；…（6分）
（Ⅱ） 設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，
y=f（x）+ln（x-1）=+ln（x-1）（x＞1），
∴y'=＞0，
∴函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
由x₁＜x₂＜x₃得：y₁＜y₂＜y₃，…（9分）
∵•=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（y₁-y₂）（y₃-y₂）＜0，
∴B是鈍角，
由余弦定理得cosB=＜0，即a²+c²＜b²，
由正弦定理得：sin²A+sin²C＜sin²B，
則＞＞1，
又∵f（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，
∴＞．…（14分）
分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的解析式，利用求導法則求出導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象在x=1處的切線方程為2y-1=0，得到x=1時導函數(shù)值為0，x=1時函數(shù)值為，列出兩個關于a與b的方程，聯(lián)立求出a與b的值，代入確定出導函數(shù)解析式，根據(jù)導函數(shù)值的正負得到函數(shù)的增減性，根據(jù)增減性得到函數(shù)的極小值及極大值即可；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，把第一問確定出的a與b的值代入，確定出f（x）的解析式，代入曲線方程中，并利用求導法則求出曲線解析式的導函數(shù)，根據(jù)x大于1時，確定導函數(shù)恒大于0，可得出曲線在x大于1時為增函數(shù)，則由x₁＜x₂＜x₃得：y₁＜y₂＜y₃，利用平面向量的數(shù)量積運算法則表示出•，得到其值小于0，可得出B為鈍角，利用余弦定理表示出cosB，根據(jù)B為鈍角可得出cosB小于0，整理后得到a²+c²＜b²，再利用正弦定理化簡得到sin²A+sin²C＜sin²B，根據(jù)f（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，可得出與的大小關系．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算法則，利用導數(shù)研究曲線上某點的切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵．