Question

設(shè)雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，該雙曲線又與直線交于兩點(diǎn)A、B且OA⊥OB（O為原點(diǎn)）．
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 
（2）求|AB|的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用條件雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，可以假雙曲線的方程為，再結(jié)合條件OA⊥OB，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求|AB|的長(zhǎng)度，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．
解答：解：（1）橢圓的焦點(diǎn)為（0，±1），依題意設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，∴15x₁x₂=9y₁y₂-18（y₁+y₂）+36，
∴
由 OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴4y₁y₂-3（y₁+y₂）+6=0…①
由，∴（15b²-9）y²+36y-（15b²+36）=0…②
∴，代入①中得b²=3∴雙曲線的方程為
（2）將b²=3代入②式中，得4y²+4y-9=0，
∴=
點(diǎn)評(píng)：本題（1）問(wèn)利用直線與曲線聯(lián)立方程組，采用設(shè)而不求的方法，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)；（2）問(wèn)則在（1）問(wèn)得基礎(chǔ)上借助于兩點(diǎn)間的距離公式求解．屬于中檔題．