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          橢圓
          x24
          +y2=1          的內(nèi)接矩形的面積的最大值為
           
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：由題意的方程可知：矩形的對(duì)角線的斜率存在．設(shè)橢圓內(nèi)接矩形一條對(duì)角線的方程為y=kx，不妨設(shè)k＞0．
          與橢圓的方程聯(lián)立距離解得第一象限的頂點(diǎn)A（x，y），再利用內(nèi)接矩形的面積S=2x•2y=4xy，及基本不等式即可得出．
          解答：解：由題意的方程可知：矩形的對(duì)角線的斜率存在．
          設(shè)橢圓內(nèi)接矩形一條對(duì)角線的方程為y=kx，不妨設(shè)k＞0．
          聯(lián)立
          y=kx
          x2
          4
          +y2=1
          ，
          化為（1+4k2）x2=4，取第一象限的頂點(diǎn)A（x，y），
          解得x=
          2
          		1+4k2
          ，∴y=
          2k
          		1+4k2
          ．
          ∴內(nèi)接矩形的面積S=2x•2y=4xy=4×
          4k
          1+4k2
          =
          16
          1
          k
          +4k
          ≤
          16
          2
          1
          k
          •4k
          =4．當(dāng)且僅當(dāng)k=
          1
          2
          上取等號(hào)．
          故橢圓
          x2
          4
          +y2=1          的內(nèi)接矩形的面積的最大值為4．
          故答案為：4．
          點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的對(duì)稱性、內(nèi)接矩形的面積的最大值問題、基本不等式的性質(zhì)，屬于難題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          橢圓
          x2
          4
          +y2=1          的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則P到F2的距離為（　�。�
          
                
          A、
          		3
          2
          B、
          		3
          C、
          7
          2
          D、4
          

			
          

			
          
			查看答案和解析>>		
          
				
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
          x24
          +y2=1          的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，過F2作∠F1PF2的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作y軸的垂線，垂足為N，線段QN的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)M的軌跡方程為
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知△AOQ，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），Q為橢圓
          x24
          +y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ中點(diǎn)M的軌跡方程．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2013•浙江模擬）已知A，B是雙曲線
          x2
          4
          -y2=1          的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于A，B的一點(diǎn)，連接PO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓
          x2
          4
          +y2=1          于點(diǎn)Q，如果設(shè)直線PA，PB，QA的斜率分別為k1，k2，k3，且k1+k2=-
          15
          8
          ，假設(shè)k3＞0，則k3的值為（　�。�
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2010•上饒二模）已知橢圓
          x2
          4
          +y2=1          的下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B是橢圓上的任意的一點(diǎn)，點(diǎn)C、D是直線x-y-4=0上的兩點(diǎn)（C在D的下方），則
          AB
          •
          CD
          |
          CD
          |
          的最大值是（　�。�
          

			
          

			
          
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