Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[

1

e

，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，研究出原函數(shù)在[1，3]上的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）先把不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立轉(zhuǎn)化為a≤2lnx+x+

3

x

成立，設(shè)h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，利用導(dǎo)函數(shù)求出h（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，（2分）
當(dāng)x∈(0，

1

e

)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增．
又f（1）=ln1=0，
所以函數(shù)f（x）在[1，3]上的最小值為0．（6分）
（Ⅱ）由題意知，2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+

3

x

．
若存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+

3

x

的最大值．
設(shè)h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，則h′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．
當(dāng)x∈[

1

e

，1)時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
由h(

1

e

)=-2+

1

e

+3e，h(e)=2+e+

3

e

，h(

1

e

)-h(e)=2e-

2

e

-4＞0，
可得h(

1

e

)＞h(e)．
所以，當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，h（x）的最大值為h（

1

e

）=-2+

1

e

+3e，
故a≤-2+

1

e

+3e（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要研究利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及函數(shù)恒成立問題．當(dāng)a≥h（x）恒成立時(shí)，只需要求h（x）的最大值；當(dāng)a≤h（x）恒成立時(shí)，只需要求h（x）的最小值．