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        1. 已知函數(shù)f(x)=xlnx.
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)在[1,3]上的最小值;
          (Ⅱ)若存在x∈[
          1e
          ,e]
          (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),且e=2.71828…)使不等式2f(x)≥-x2+ax-3成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          分析:(Ⅰ)先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),研究出原函數(shù)在[1,3]上的單調(diào)性即可求出函數(shù)f(x)在[1,3]上的最小值;
          (Ⅱ)先把不等式2f(x)≥-x2+ax-3成立轉(zhuǎn)化為a≤2lnx+x+
          3
          x
          成立,設(shè)h(x)=2lnx+x+
          3
          x
          (x>0)
          ,利用導(dǎo)函數(shù)求出h(x)在x∈[
          1
          e
          ,e]
          上的最大值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          解答:解:(Ⅰ)由f(x)=xlnx,可得f'(x)=lnx+1,(2分)
          當(dāng)x∈(0,
          1
          e
          )
          時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
          當(dāng)x∈(
          1
          e
          ,+∞)
          時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
          所以函數(shù)f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增.
          又f(1)=ln1=0,
          所以函數(shù)f(x)在[1,3]上的最小值為0.(6分)
          (Ⅱ)由題意知,2xlnx≥-x2+ax-3,則a≤2lnx+x+
          3
          x

          若存在x∈[
          1
          e
          ,e]
          使不等式2f(x)≥-x2+ax-3成立,
          只需a小于或等于2lnx+x+
          3
          x
          的最大值.
          設(shè)h(x)=2lnx+x+
          3
          x
          (x>0)
          ,則h′(x)=
          2
          x
          +1-
          3
          x2
          =
          (x+3)(x-1)
          x2

          當(dāng)x∈[
          1
          e
          ,1)
          時(shí),h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
          當(dāng)x∈(1,e]時(shí),h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
          h(
          1
          e
          )=-2+
          1
          e
          +3e
          ,h(e)=2+e+
          3
          e
          ,h(
          1
          e
          )-h(e)=2e-
          2
          e
          -4>0
          ,
          可得h(
          1
          e
          )>h(e)

          所以,當(dāng)x∈[
          1
          e
          ,e]
          時(shí),h(x)的最大值為h(
          1
          e
          )=-2+
          1
          e
          +3e,
          故a≤-2+
          1
          e
          +3e(13分)
          點(diǎn)評(píng):本題主要研究利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及函數(shù)恒成立問題.當(dāng)a≥h(x)恒成立時(shí),只需要求h(x)的最大值;當(dāng)a≤h(x)恒成立時(shí),只需要求h(x)的最小值.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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