Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，則下列說法一定正確的是

1. A.
   f（x）為奇函數(shù)
2. B.
   f（x）為偶函數(shù)
3. C.
   f（x）+1為奇函數(shù)
4. D.
   f（x）+1為偶函數(shù)

Answer 1

C
分析：對(duì)任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，由此得f（0）=-1，f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，所以f（x）+1為奇函數(shù)．
解答：∵對(duì)任意x₁，x₂∈R有
f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=-1
∴令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，
∴f（x）+1為奇函數(shù)．
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．