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        1. 精英家教網(wǎng)如圖,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,
          點E在CC1上,且A1C⊥平面BED
          (Ⅰ)證明; C1E=3EC
          (Ⅱ)求二面角A1-DE-B的大。
          分析:(I)連接D1C,由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征,我們易證得A1D1⊥平面ADA1D1,A1C⊥平面BED,進(jìn)而得到CE:CD=CD:DD1=1:2,進(jìn)而由AA1=2AB,我們易證得C1E=3EC;
          (II)由(I)的結(jié)論可得
          A1C
          是平面BED的法向量,進(jìn)而求出平面DA1E的法向量,代入向量夾角公式,即可求出二面角A1-DE-B的大小.
          解答:精英家教網(wǎng)(本小題滿分12分)
          (Ⅰ)證明:連接D1C,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,
          A1C⊥BD
          A1D1⊥平面ADA1D1
          A1D1⊥DE
          只要D1C⊥DE,就得到 DE⊥平面A1D1C,從而得到A1C⊥DE,A1C⊥平面BED
          D1C⊥DE,CE:CD=CD:DD1=1:2
          ∴C1E=3EC(6分)
          (Ⅱ)設(shè)向量n=(x,y,z) 是平面DA1E的法向量,
          n⊥
          DE
          ,n⊥
          DA1

          故   2y+z=0,2x+4z=0.
          令y=1,則z=-2,x=4,n=(4,1,-2).…(9分)
          <n,
          A1C
          等于二面角A1-DE-B 的平面角,
          cos<n,
          A1C
          =
          n•
          A1C
          |n|
          |A1C|
          =
          14
          42

          所以二面角A1-DE-B的大小為arccos
          14
          42
          .----------(12分)
          點評:本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的性質(zhì),其中(I)的關(guān)鍵是得到CE:CD=CD:DD1=1:2,(II)的關(guān)鍵是求出平面BED的法向量和平面DA1E的法向量,將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
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