Question

如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，
點(diǎn)E在CC₁上，且A₁C⊥平面BED
（Ⅰ）證明； C₁E=3EC
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大�。�

Answer 1

分析：（I）連接D₁C，由正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，我們易證得A₁D₁⊥平面ADA₁D₁，A₁C⊥平面BED，進(jìn)而得到CE：CD=CD：DD₁=1：2，進(jìn)而由AA₁=2AB，我們易證得C₁E=3EC；
（II）由（I）的結(jié)論可得

A1C

是平面BED的法向量，進(jìn)而求出平面DA₁E的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A₁-DE-B的大�。�

解答：（本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：連接D₁C，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
A₁C⊥BD
A₁D₁⊥平面ADA₁D₁
A₁D₁⊥DE
只要D₁C⊥DE，就得到 DE⊥平面A₁D₁C，從而得到A₁C⊥DE，A₁C⊥平面BED
D₁C⊥DE，CE：CD=CD：DD₁=1：2
∴C₁E=3EC（6分）
（Ⅱ）設(shè)向量n=（x，y，z） 是平面DA₁E的法向量，
則n⊥

DE

，n⊥

DA1

．
故   2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，則z=-2，x=4，n=（4，1，-2）．…（9分）
＜n，

A1C

＞等于二面角A₁-DE-B 的平面角，
cos＜n，

A1C

＞=

n• A1C

|n| |A1C|

=

14

42

．
所以二面角A₁-DE-B的大小為arccos

14

42

．----------（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中（I）的關(guān)鍵是得到CE：CD=CD：DD₁=1：2，（II）的關(guān)鍵是求出平面BED的法向量和平面DA₁E的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．