Question

【題目】在正三棱錐中，平面，底面邊長(zhǎng)，則正三棱錐的外接球的表面積為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由正棱錐的性質(zhì)和平面可以推得兩兩互相垂直，由此可將正三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，并且正方體的外接球就是正三棱錐的外接球，通過(guò)求正方體的外接球的表面積，也就求出正三棱的外接球的表面積.

在正三棱錐中，取中點(diǎn),連接，則,因?yàn)?/span>平面，又面，，

設(shè)，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)，所以，

，

所以，即，解得，即，

所以在中有，所以是，即

又因?yàn)?/span>平面，所以，所以兩兩互相垂直，

所以將正三棱錐補(bǔ)為一個(gè)正方體，如下圖1所示，

正三棱錐的外接球，就是這個(gè)正方體的外接球，且正方體的棱長(zhǎng)為2，

由下圖2可以看出，正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，

設(shè)外接球的半徑為R，則，解得，所以球的表面積，

故填：.