Question

（2012•石家莊一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），M是動(dòng)點(diǎn)，且直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II ）過(guò)定點(diǎn)T（-1，0）的動(dòng)直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)S（s，0），使得

SP

•

SQ

為定值，若存在求出s的值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，建立方程，化簡(jiǎn)可得曲線C的方程；
（II ）當(dāng)動(dòng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）與橢圓方程聯(lián)立，用坐標(biāo)表示出

SP

•

SQ

=

(s2-4)(1+ 4s2+8s+1 s2-4 ×k2)

1+4k2

，要使存在定點(diǎn)S（s，0），使得

SP

•

SQ

為定值，則使

4s2+8s+1

s2-4

=4即可，再驗(yàn)證斜率不存在情況也成立．

解答：解：（I）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
∵定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-

1

4

，
∴

y

x+2

×

y

x-2

=-

1

4

∴

x2

4

+y2=1(x≠±2)
∴曲線C的方程為

x2

4

+y2=1(x≠±2)；
（II ）當(dāng)動(dòng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0）
由

y=k(x+1) x2 4 +y2=1

，可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∴

x1+x2=- 8k2 1+4k2 x1x2= 4k2-4 1+4k2

∵

SP

=(x1-s，y1)，

SQ

=(x2-s，y2)
∴

SP

•

SQ

=

(s2-4)(1+ 4s2+8s+1 s2-4 ×k2)

1+4k2

若存在定點(diǎn)S（s，0），使得

SP

•

SQ

為定值，則

4s2+8s+1

s2-4

=4
∴s=-

17

8

，此時(shí)定值為

33

64

當(dāng)動(dòng)直線l的斜率不存在時(shí)，P（-1，

3

2

），Q（-1，-

3

2

），可知s=-

17

8

時(shí)，

SP

•

SQ

=

33

64

綜上知，存在定點(diǎn)S（-

17

8

，0），使得

SP

•

SQ

為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問(wèn)題的探究，解題的關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示出

SP

•

SQ

，進(jìn)而確定定值．