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        1. (2012•石家莊一模)在平面直角坐標系xOy中,已知定點A(-2,0)、B(2,0),M是動點,且直線MA與直線MB的斜率之積為-
          1
          4
          ,設動點M的軌跡為曲線C.
          (I)求曲線C的方程;
          (II )過定點T(-1,0)的動直線l與曲線C交于P,Q兩點,是否存在定點S(s,0),使得
          SP
          SQ
          為定值,若存在求出s的值;若不存在請說明理由.
          分析:(I)根據(jù)定點A(-2,0)、B(2,0),直線MA與直線MB的斜率之積為-
          1
          4
          ,建立方程,化簡可得曲線C的方程;
          (II )當動直線l的斜率存在時,設動直線l的方程為y=k(x+1)(k≠0)與橢圓方程聯(lián)立,用坐標表示出
          SP
          SQ
          =
          (s2-4)(1+
          4s2+8s+1
          s2-4
          ×k2)
          1+4k2
          ,要使存在定點S(s,0),使得
          SP
          SQ
          為定值,則使
          4s2+8s+1
          s2-4
          =4即可,再驗證斜率不存在情況也成立.
          解答:解:(I)設M點坐標為(x,y)
          ∵定點A(-2,0)、B(2,0),直線MA與直線MB的斜率之積為-
          1
          4
          ,
          y
          x+2
          ×
          y
          x-2
          =-
          1
          4

          x2
          4
          +y2=1(x≠±2)

          ∴曲線C的方程為
          x2
          4
          +y2=1(x≠±2)
          ;
          (II )當動直線l的斜率存在時,設動直線l的方程為y=k(x+1)(k≠0)
          y=k(x+1)
          x2
          4
          +y2=1
          ,可得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
          設P(x1,y1),Q(x2,y2),∴
          x1+x2=-
          8k2
          1+4k2
          x1x2=
          4k2-4
          1+4k2

          SP
          =(x1-s,y1)
          SQ
          =(x2-s,y2)

          SP
          SQ
          =
          (s2-4)(1+
          4s2+8s+1
          s2-4
          ×k2)
          1+4k2

          若存在定點S(s,0),使得
          SP
          SQ
          為定值,則
          4s2+8s+1
          s2-4
          =4
          ∴s=-
          17
          8
          ,此時定值為
          33
          64

          當動直線l的斜率不存在時,P(-1,
          3
          2
          ),Q(-1,-
          3
          2
          ),可知s=-
          17
          8
          時,
          SP
          SQ
          =
          33
          64

          綜上知,存在定點S(-
          17
          8
          ,0),使得
          SP
          SQ
          為定值.
          點評:本題考查軌跡方程的求解,考查存在性問題的探究,解題的關鍵是用坐標表示出
          SP
          SQ
          ,進而確定定值.
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