Question

（08年石室中學(xué)）正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為AB與BB₁的中點。

 

   （I）求證：EF⊥平面A₁D₁B；

   （II）求二面角F―DE―C的正切值；

   （III）若AA₁=2，求三棱錐D₁―DEF的體積。

 

 

Answer 1

解析:方法一：（I）∵E、F分別為AB與BB₁的中點

 

∴EF∥AB₁，而AB₁⊥A₁B，∴EF⊥A₁B

又D₁A₁⊥平面ABB₁A₁，∴D₁A₁⊥EF，∴EF⊥平面AD₁B₁        …………2分

   （II）設(shè)CB交DE的延長線于點N，作BM⊥DN于M點，連FM

∵FB⊥平面ABCD，∴FM⊥DN，

∴∠FMB為二面角F―DE―C的平面角                                  …………5分

設(shè)正方體棱長為a，則中，

∴二面角F―DE―C的正切值為                                      …………8分

   （III）連結(jié)DB，∵BB₁∥DD₁

                                                             …………12分

方法二：如圖所示，分別以DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系

D―ACD₁，不妨令正方體的棱長為2。

   （I）∵E、F分別為AB與BB₁的中點

∴E（2，1，0），F(xiàn)（2，2，1），A₁（2，0，2）

D₁（0，0，2），B（2，2，0），

，

，…………2分

，

   （II）顯然，平面DEC的法向量為

解得                                                                   …………6分

記二面角F―DE―C的平面角為α，

故二面角F―DE―C的正切值◆              …………8分