Question

已知關于x的不等式

ax-5

x2-a

＜0的解集為M．
（1）當a=4時，求集合M；
（2）若3∈M且5∉M，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=4時，不等式化為

4x-5

x2-4

＜0，推出同解不等式，利用穿根法解不等式求得集合M；
（2）對a=25，和a≠25時分類討論，用3∈M且5∉M，推出不等式組，然后解分式不等式組，求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）a=4時，不等式化為

4x-5

x2-4

＜0，即（4x-5）（x²-4）＜0
利用穿根法解得M=（-∞，-2）∪（

5

4

，2）．
（2）當a≠25時，由

3∈M 5∉M

得

3a-5 9-a ＜0 5a-5 25-a ≥0

∴a∈[1，

5

3

）∪（9，25）；
當a=25時，不等式為

25x-5

x2-25

＜0?M=（-∞，-5）∪（

1

5

，5）．
滿足3∈M且5∉M，∴a=25滿足條件．
綜上所述，得a的取值范圍是[1，

5

3

）∪（9，25]．

點評：本題考查其他不等式的解法，元素與集合關系的判斷，考查穿根法，分式不等式的解法，是中檔題．