Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

a

x+1

(a∈R)．
（1）當(dāng)a=

9

2

時(shí)，如果函數(shù)g（x）=f（x）-k僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，試比較f（x）與1的大��；
（3）求證：ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)求出它的單調(diào)區(qū)間和極值，由題意知 k大于f（x）的極大值，或 k小于f（x）的極小值．
（2）令h（x）=f（x）-1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，利用h（1）=0，分x＞1、
0＜x＜1、當(dāng)x=1三種情況進(jìn)行討論．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＞

x-1

x+1

，令x=

k+1

k

，有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，可得

n

k=1

ln

k+1

k

＞

n

k=1

1

2k+1

，由 ln(n+1)=

n

k=1

ln

k+1

k

，證得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=

9

2

時(shí)，f(x)=lnx+

9

2(x+1)

，定義域是（0，+∞），
 求得f′(x)=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

(2x-1)(x-2)

2x(x+1)2

，令f'（x）=0，得x=

1

2

，或x=2．
∵當(dāng)0＜x＜

1

2

或x＞2時(shí)，f'（x）＞0； 當(dāng)

1

2

＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，

1

2

]、（2，+∞）上單調(diào)遞增，在(

1

2

， 2)上單調(diào)遞減．
∴f（x）的極大值是 f(

1

2

)=3-ln2，極小值是 f(2)=

3

2

+ln2．
∵當(dāng)x趨于 0時(shí)，f（x）趨于-∞；當(dāng)x趨于+∞時(shí)，f（x）趨于+∞，
由于當(dāng)g（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k僅有一個(gè)交點(diǎn)，
k的取值范圍是{k|k＞3-ln2，或k＜

3

2

+ln2}．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=lnx+

2

x+1

，定義域?yàn)椋?，+∞）．
令h(x)=f(x)-1=lnx+

2

x+1

-1，∵h′(x)=

1

x

-

2

(x+1)2

=

x2+1

x(x+1)2

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．  ①當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；  ③當(dāng)x=1時(shí)，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．
（3）證明：根據(jù)（2）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，lnx+

2

x+1

＞1，即lnx＞

x-1

x+1

．
令x=

k+1

k

，則有ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，∴

n

k=1

ln

k+1

k

＞

n

k=1

1

2k+1

．
∵ln(n+1)=

n

k=1

ln

k+1

k

，∴ln(n+1)＞

1

3

+

1

5

++

1

2n+1

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的計(jì)算能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)，屬于中檔題．