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        1. 已知函數(shù)f(x)=lnx+
          a
          x+1
          (a∈R)

          (1)當(dāng)a=
          9
          2
          時(shí),如果函數(shù)g(x)=f(x)-k僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
          (2)當(dāng)a=2時(shí),試比較f(x)與1的大。
          (3)求證:ln(n+1)>
          1
          3
          +
          1
          5
          +
          1
          7
          +…+
          1
          2n+1
          (n∈N*).
          分析:(1)利用函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)求出它的單調(diào)區(qū)間和極值,由題意知 k大于f(x)的極大值,或 k小于f(x)的極小值.
          (2)令h(x)=f(x)-1,由h′(x)>0得h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),利用h(1)=0,分x>1、
          0<x<1、當(dāng)x=1三種情況進(jìn)行討論.
          (3)根據(jù)(2)的結(jié)論,當(dāng)x>1時(shí),lnx>
          x-1
          x+1
          ,令x=
          k+1
          k
          ,有ln
          k+1
          k
          1
          2k+1
          ,可得
          n
          k=1
          ln
          k+1
          k
          n
          k=1
          1
          2k+1
          ,由 ln(n+1)=
          n
          k=1
          ln
          k+1
          k
          ,證得結(jié)論.
          解答:解:(1)當(dāng)a=
          9
          2
          時(shí),f(x)=lnx+
          9
          2(x+1)
          ,定義域是(0,+∞),
           求得f′(x)=
          1
          x
          -
          9
          2(x+1)2
          =
          (2x-1)(x-2)
          2x(x+1)2
          ,令f'(x)=0,得x=
          1
          2
          ,或x=2.
          ∵當(dāng)0<x<
          1
          2
          或x>2時(shí),f'(x)>0; 當(dāng)
          1
          2
          <x<2
          時(shí),f'(x)<0,
          ∴函數(shù)f(x)在(0,
          1
          2
          ]、(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(
          1
          2
          , 2)
          上單調(diào)遞減.
          ∴f(x)的極大值是 f(
          1
          2
          )=3-ln2
          ,極小值是 f(2)=
          3
          2
          +ln2

          ∵當(dāng)x趨于 0時(shí),f(x)趨于-∞;當(dāng)x趨于+∞時(shí),f(x)趨于+∞,
          由于當(dāng)g(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí),函數(shù)f(x)的圖象和直線y=k僅有一個(gè)交點(diǎn),
          k的取值范圍是{k|k>3-ln2,或k<
          3
          2
          +ln2
          }.
          (2)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx+
          2
          x+1
          ,定義域?yàn)椋?,+∞).
          h(x)=f(x)-1=lnx+
          2
          x+1
          -1
          ,∵h′(x)=
          1
          x
          -
          2
          (x+1)2
          =
          x2+1
          x(x+1)2
          >0
          ,
          ∴h(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).  ①當(dāng)x>1時(shí),h(x)>h(1)=0,即f(x)>1;
          ②當(dāng)0<x<1時(shí),h(x)<h(1)=0,即f(x)<1;  ③當(dāng)x=1時(shí),h(x)=h(1)=0,即f(x)=1.
          (3)證明:根據(jù)(2)的結(jié)論,當(dāng)x>1時(shí),lnx+
          2
          x+1
          >1
          ,即lnx>
          x-1
          x+1

          x=
          k+1
          k
          ,則有ln
          k+1
          k
          1
          2k+1
          ,∴
          n
          k=1
          ln
          k+1
          k
          n
          k=1
          1
          2k+1

          ln(n+1)=
          n
          k=1
          ln
          k+1
          k
          ,∴ln(n+1)>
          1
          3
          +
          1
          5
          ++
          1
          2n+1
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想,考查考生的計(jì)算能力及分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí),屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3-
          3
          2
          ax2-(a-3)x+b

          (1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
          (2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
          f′(x)
          x
          ,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          2
          x2-alnx
          的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
          (1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
          (2)當(dāng)x∈[
          1
          e
          ,e]
          時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
          12
          x2+a
          (a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
          (1)求直線l的方程及a的值;
          (2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          13
          x3+x2+ax

          (1)討論f(x)的單調(diào)性;
          (2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x3-
          32
          ax2+b
          ,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
          (1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
          (2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
          (3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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