Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，為等邊三角形，，，與平面所成角的正切值為.

(Ⅰ)證明：平面；

(Ⅱ)若是的中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）.

【解析】

(Ⅰ)先證明為與平面所成的角，于是可得，于是．又由題意得到，故得，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得所證結(jié)論． (Ⅱ) 取的中點，連接，可證得．建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，根據(jù)兩個法向量夾角的余弦值得到二面角的余弦值．

(Ⅰ)證明：因為平面，平面，

所以

又,,

所以平面，

所以為與平面所成的角．

在中，，

所以

所以在中，,.

又，

所以在底面中，,

又平面，平面，

所以平面．

(Ⅱ)解：取的中點，連接，則,由(Ⅰ)知，

所以，

分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，，，

所以，，

設(shè)平面的一個法向量為，

由，即，得，

令，則．

設(shè)平面的一個法向量為，

由，即，得，

令，則．

所以，

由圖形可得二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為．