Question

如圖，直三棱柱中， ，，是的中點(diǎn)，△是等腰三角形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．

（1）若∥平面，求；
（2）求直線和平面所成角的余弦值．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、線面角、向量法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力.第一問，取BC中點(diǎn)，由中位線及平行線間的傳遞性，得到∥∥，即四點(diǎn)共面，利用線面平行的性質(zhì)，得∥，從而得到E是CN中點(diǎn)，從而得到的值；第二問，連結(jié)，利用直三棱柱，得平面，利用線面垂直的性質(zhì)得，從而得到為矩形且，所以，利用線面垂直得到線線垂直，2個(gè)線線垂直得到線面垂直，由于是攝影，所以為線面角，在中解出的值.
試題解析：『法一』(1)取中點(diǎn)為，連結(jié)，   1分
∵分別為中點(diǎn)
∴∥∥，
∴四點(diǎn)共面，               3分
且平面平面
又平面，
且∥平面
∴∥ 
∵為的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，                  5分
∴．                                           6分

（2）連結(jié)，                                         7分
因?yàn)槿�棱�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044819598663.png" style="vertical-align:middle;" />為直三棱柱，∴平面
∴，即四邊形為矩形，且
∵是的中點(diǎn)，∴，
又平面，
∴，從而平面                   9分
∴是在平面內(nèi)的射影
∴與平面所成的角為∠
又∥，
∴直線和平面所成的角即與平面所成的角10分
設(shè)，且三角形是等腰三角形
∴，則，
∴                         
∴直線和平面所成的角的余弦值為．        12分
『法二』（1）因?yàn)槿�棱�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824044819598663.png" style="vertical-align:middle;" />為直三棱柱，
∴平面，又
∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以
所在直線為軸，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系．     1分

設(shè)，又三角形是
等腰三角形，所以
易得，，，
所以有， 
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，即  
，令，有                    4分
（也可直接證明為平面法向量）
設(shè)，，又，
∴
若∥平面，則，所以有，
解得，∴                                 6分
（2）由（1）可知平面的一個(gè)法向量是，
，，求得
設(shè)直線和平面所成的角為，，
則，                    11分
所以
∴直線和平面所成的角的余弦值為．         12分