Question

（2012•南寧模擬）已知橢圓W的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

6

3

，兩條準(zhǔn)線間的距離為6，橢圓的左焦點為F，過左焦點與x軸的交點M任作一條斜率不為零的直線l與橢圓W交于不同的兩點A、B，點A關(guān)于x軸的對稱點為C．
（1）求橢圓W的方程；
（2）求證：

CF

=λ

FB

(λ∈R)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)離心率，準(zhǔn)線和a，b和c的關(guān)系，聯(lián)立方程求得a，b和c，即可求得橢圓的方程；
（2）根據(jù)準(zhǔn)線方程可求得M的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+3），根據(jù)橢圓的第二定義判斷出B，F(xiàn)，C三點共線，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)橢圓W的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意可知

c

a

=

6

3

，a²=b²+c²，2×

a2

c

=6，解得a=

6

，c=2，b=

2

，所以橢圓W的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）證明：因為左準(zhǔn)線方程為x=-

a2

c

=-3，所以點M坐標(biāo)為（-3，0）．
于是可設(shè)直線l的方程為y=k（x+3），點A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則點C的坐標(biāo)為（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．
由橢圓的第二定義可得

|FB|

|FC|

=

x2+3

x1+3

=

|y2|

|y1|

，
所以B，F(xiàn)，C三點共線，即

CF

=λ

FB

(λ∈R)．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用橢圓的定義與性質(zhì)．