Question

【題目】如圖，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分別是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由幾何關(guān)系可知四邊形是平行四邊形，則． 由線面平行的判定定理可得平面． 由中位線的性質(zhì)可知，則面 利用面面平行的判定定理即可證得平面平面．

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面的一個(gè)法向量．而平面的一個(gè)法向量為．據(jù)此可得，然后結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解二面角的正切值即可.

（1）因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，，所以．

又因?yàn)?/span>， ，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以．

又因?yàn)?/span>平面平面，所以平面．

因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，所以．

又因?yàn)?/span>平面平面，所以面

又因?yàn)?/span>平面平面，所以平面平面．

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，

所以．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，

所以．

易知平面的一個(gè)法向量為．

所以．

又因?yàn)槎�面�?/span>的平面角為銳角，所以二面角的正切值．