Question

如圖，平面PAC⊥平面ABC，點(diǎn)E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn)，AB=BC=AC=4，PA=PC=2

2

．
求證：
（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO；
（3）求三棱錐E-PBC的體積．

Answer 1

分析：（1）先證明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，從而證得PA⊥平面EBO．
（2）由線段長(zhǎng)度間的關(guān)系證明FG∥QO，進(jìn)而證得FG∥平面EBO．
（3）先確定棱錐的高BO，求出BO的大小，然后求出底面PEC的大小，即可求解所求棱錐的體積．

解答：（1）證明：由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，△ABC為等邊三角形． 因?yàn)镺為邊AC的中點(diǎn)，所以BO⊥AC，
因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO?平面ABC，所以，BO⊥面PAC．
因?yàn)镻A?平面PAC，故 BO⊥PA．在等腰三角形PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點(diǎn)，故 OE∥PC，∴OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以，PA⊥平面EBO．
（2）證明：連AF交BE于Q，連QO．因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，
所以

AO

OG

=2． 又 Q是△PAB的重心．
于是，

AG

GF

=2=

AO

OG

，所以，F(xiàn)G∥QO．
因?yàn)镕G?平面EBO，QO?平面EBO，所以，F(xiàn)G∥平面EBO．
（3）解：由（1）可知PA⊥平面EBO，所以PE⊥BO，
因?yàn)镺是線段AC的中點(diǎn)，AB=BC=AC=4，所以BO⊥AC，
所以BO⊥平面PEC，BO是棱錐的高，BO=2

3

．
S_△PEO=

1

2

S_△PAC=

1

2

×

1

2

×4×

(2 2 )2-22

=2．
所以三棱錐E-PBC的體積V=

1

3

×2×2

3

=

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．