Question

【題目】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,過作直線交拋物線于兩點(diǎn).

（1）求線段中點(diǎn)的軌跡；

(2)若線段的垂直平分線交對(duì)稱軸于),求的取值范圍；

(3)若直線的斜率依次取時(shí),線段的垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)依次為

，當(dāng)時(shí)，

求： 的值.

Answer 1

【答案】(1) 拋物線位于直線右方的兩段拋物線弧.

(2) .

(3) .

【解析】

（1）設(shè)直線：，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解的中點(diǎn)為，求解軌跡方程，得到軌跡為該拋物線位于直線右方的兩段拋物線��；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，求出線段的垂直平分線的方程，然后求解；（3）求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，通過數(shù)列為一無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，求解所有項(xiàng)的和．

(1)設(shè)直線,聯(lián)立，

得： ，

由且得到: .

設(shè)的中點(diǎn)為,則，

消去得, .

實(shí)際軌跡為該拋物線位于直線右方的兩段拋物線弧.

(2)設(shè)的中點(diǎn)為，

則線段的垂直平分線的方程為: .

令,得 ，

由，得.

(3) 由(1)知中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，.

則當(dāng)時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

同理的橫坐標(biāo)，，.

數(shù)列為一無(wú)窮遞縮等比列，所有項(xiàng)的和為.