Question

如圖，已知A（1，0），B（0，2），C₁為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)C₁作C₁D₁⊥OA于D₁點(diǎn)，連接BD₁交OC₁于C₂點(diǎn)，過(guò)C₂作C₂D₂⊥OA于D₂點(diǎn)，連接BD₂交OC₁于C₃點(diǎn)，過(guò)C₃作C₃D₃⊥OA于D₃點(diǎn)，如此繼續(xù)，依次得到D₁，D₂，D₃…D_n（n∈N^*），記D_n的坐標(biāo)為（a_n，0）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求a_n與a_n+1的關(guān)系式，并求出a_n的表達(dá)式；
（3）設(shè)△OC_nD_n的面積為b_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：．

Answer 1

解（1）∵C₁為AB中點(diǎn)，∴C₁（，1），D₁（，0），，
直線BD₁的方程：，直線OC₁的方程：y=2x，
可解得C₂的橫坐標(biāo)為（2分）

（2）設(shè)D_n（a_n，0），直線BD_n的方程為，聯(lián)立OC₁：y=2x，
可解得，∴（5分）
∴數(shù)列是首項(xiàng)為2公差為1的等差數(shù)列，∴，∴（8分）

（3）∵△OC_nD_n～△OC₁D₁
∴，
∴（11分）
S_n=b₁+b₂+b₃+b_n=+
=
=（14分）
分析：（1）由題意知直線BD₁的方程：，直線OC₁的方程：y=2x，由此可解得C₂的橫坐標(biāo)為．
（2）設(shè)D_n（a_n，0），由題意知直線BD_n的方程為，聯(lián)立OC₁：y=2x，可解得，由引可知．
（3）由題意知，由此可知S_n=b₁+b₂+b₃+b_n=＜=．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真分析，仔細(xì)求解．