Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)的圖象在兩點處的切線分別為，若，且，求實數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間是，增區(qū)間是；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設(shè)條件運用分類探求；（2）借助題設(shè)運用恒成立建立不等式求解；（3）依據(jù)題設(shè)構(gòu)建函數(shù),運用導(dǎo)數(shù)知識求解.

試題解析：

函數(shù)，求導(dǎo)得，

（1）當時，，

①若，則恒成立，

所以在上單調(diào)遞減；

②若，則，令，解得或（舍去）

若，則，在上單調(diào)遞減；

若，則，在上單調(diào)遞增；

綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是

（2）當時，，而，

所以當時，在上單調(diào)遞減；

當時，，在上單調(diào)遞增；

所以函數(shù)在上的最小值為，

所以恒成立，解得或（舍去）

又由，得，

所以實數(shù)的取值范圍是．

（3）由知，，而，則，

若，則，

所以，解得，不合題意

故，則，

整理得，，

由，得，令，則，

所以，設(shè)，則，

當時，在上單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞增；

所以函數(shù)的最小值為，

故實數(shù)的最小值為