Question

【題目】袋中共有8個(gè)球，其中有3個(gè)白球，5個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．從袋中隨機(jī)取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補(bǔ)一個(gè)白球放入袋中．重復(fù)上述過程次后，袋中白球的個(gè)數(shù)記為．

（1）求隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

（2）求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)于的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）概率分布詳見解析，；（2）．

【解析】

（1）的可能取值為3，4，5，計(jì)算概率得到分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

（2）設(shè)，則，計(jì)算概率得到數(shù)學(xué)期望，整理化簡(jiǎn)得到，根據(jù)數(shù)列知識(shí)得到答案.

（1）由題意可知3，4，5．

當(dāng)時(shí)，即二次摸球均摸到白球，其概率是；

當(dāng)時(shí)，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，

其概率是；

當(dāng)時(shí)，即二次摸球均摸到黑球，其概率是，

所以隨機(jī)變量的概率分布如下表：

數(shù)學(xué)期望.

（2）設(shè)，0，1，2，3，4，5．

則，．

，，，

，，

，

∴

，

由此可知，，

又，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

∴，即.