Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n
（1）證明：當(dāng)b=2時(shí)，{an-n•2n-1}是等比數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)b=2時(shí)，由題設(shè)，再寫一式，兩式相減，可得a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1），所以{a_n-n•2^n-1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）當(dāng)b=2時(shí)，由題設(shè)條件知a_n=（n+1）2^n-1；當(dāng)b≠2時(shí)，可得a_n+1-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n+2ⁿ-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n-

b

2-b

•2ⁿ=b（a_n-

1

2-b

•2ⁿ），由此能夠?qū)С鰗a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：（1）證明：由題意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，
ba_n+1-2ⁿ⁺¹=（b-1）S_n+1
兩式相減得b（a_n+1-a_n）-2ⁿ=（b-1）a_n+1
即a_n+1=ba_n+2ⁿ①
當(dāng)b=2時(shí)，由①知a_n+1=2a_n+2ⁿ
于是a_n+1-（n+1）•2ⁿ=2a_n+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ=2（a_n-n•2^n-1）
又a₁-1•2⁰=1≠0，所以{a_n-n•2^n-1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）解：當(dāng)b=2時(shí)，由（1）知a_n-n•2^n-1=2^n-1，即a_n=（n+1）2^n-1，
當(dāng)b≠2時(shí)，由①得a_n+1-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n+2ⁿ-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=ba_n-

b

2-b

•2ⁿ=b（a_n-

1

2-b

•2ⁿ）
因此a_n+1-

1

2-b

•2ⁿ⁺¹=b（a_n-

1

2-b

•2ⁿ）=

2(1-b)

2-b

•bⁿ，
即a_n+1=

1

2-b

•2ⁿ⁺¹+

2(1-b)

2-b

•bⁿ，
所以a_n=

1

2-b

•2ⁿ+

2(1-b)

2-b

•b^n-1

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，同時(shí)考查分類討論思想，屬于中檔題．