Question

有一展館形狀是邊長為2的等邊三角形ABC，DE把展館分成上下兩部分面積比為1：2（如圖所示），其中D在AB上，E在AC上．
（1）若D是AB中點，求AE的值；
（2）設AD=x，ED=y．（�。┣笥脁表示y的函數(shù)關系式；（ⅱ）若DE是消防水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應在哪里？若DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請給以說明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得S△ADE=

1

3

S△ABC，再由△ABC是等邊三角形且D是AB中點，利用三角形的面積公式建立關于AD、AE的等式，解之可得AE=

4

3

；
（2）（i）在△ADE中，根據(jù)余弦定理建立y²關于x²的等式，兩邊開方可得用x表示y的函數(shù)關系式，再由AE≤2算出

2

3

≤x≤2，可得此函數(shù)的定義域；
（ⅱ）若DE是消防水管，則根據(jù)基本不等式加以計算，可得當AE=

2 3

3

時消防水管路線最短為

2 3

3

；若DE是參觀線路，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義加以證明，可得函數(shù)y=

x2+ 16 9x2 - 4 3

在區(qū)間[

2

3

，

2

3

3

]上為減函數(shù)，在區(qū)間[

2

3

3

，2]上為增函數(shù)，由此可得當x=

2

3

或x=2時DE最長，進而得到此時D、E兩點的位置．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得S△ADE=

1

3

S△ABC=

1

3

•

1

2

•22•sin60°=

3

3

，
∵S△ADE=

1

2

AD•AE•sin60°，∴AD•AE=

4

3

，
又∵D是AB中點，可得AD=1，
∴AD•AE=AE=

4

3

，即AE的值為

4

3

；
（2）∵AD•AE=

4

3

，∴AE=

4

3AD

=

4

3x

，
又∵AE≤2，∴0＜

4

3x

≤2，解得x≥

2

3

，可得

2

3

≤x≤2．
△ADE中，根據(jù)余弦定理，
可得y2=DE2=AD2+AE2-2AD•AE•cos60°=x2+

16

9x2

-

4

3

∴y=

x2+ 16 9x2 - 4 3

，x∈[

2

3

，2]
①若DE是消防水管，則y=

x2+ 16 9x2 - 4 3

≥

2• x2• 16 9x2 - 4 3

=

2 3

3

，
當且僅當x2=

4

3

，即x=

2 3

3

，等號成立．
此時AE=

2 3

3

，故DE∥BC，且消防水管路線最短為DE=

2 3

3

；
②若DE是參觀線路，令x2=t，t∈[

4

9

，4]，y=

t+ 16 9t - 4 3

，設f(t)=t+

16

9t

，
可以證明f（t）在[

4

9

，

4

3

]是減函數(shù)：
設

4

9

≤t1＜t2≤

4

3

，則f(t1)-f(t2)=(t1-t2)+

16

9

(

1

t1

-

1

t2

)=(t1-t2)•

(t1t2- 16 9 )

t1t2

，
∵

4

9

≤t1＜t2≤

4

3

，可得t1-t2＜0，t1t2＜

16

9

，
∴f（t₁）-f（t₂）＞0，得f（t₁）＞f（t₂），
∴f（t）在[

4

9

，

4

3

]是減函數(shù)，同理可證f（t）在[

4

3

，4]是增函數(shù)．
因此，f（t）的最大值為f(

4

9

)、f(4)二者中較大的值，
∵f(

4

9

)=f(4)=

40

9

，∴ymax=

40 9 - 4 3

=

2 7

3

，
此時x=

2

3

或x=2．當x=

2

3

時，AE=2；當x=2時，AE=

2

3

．
綜上所述，當D為AB的靠近A的一個三等分點且E與C重合；或E為靠近A的AC的一個三等分點且D與B重合時，
參觀線路DE最長，最長路線為

2 7

3

．

點評：本題給出實際應用問題，求消防水管路線的最小值與參觀路線的最大值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、函數(shù)的單調(diào)性及其應用、利用基本不等式求最值和三角函數(shù)在實際問題中的應用等知識，屬于中檔題．