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          選修4-2；矩陣與變換
          已知矩陣A=
          .
          12
          -14
          .
          ，向量a=
          .
          4 
          7 
          .

          （I）求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量a1、a2；
          （Ⅱ）求A5α的值．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（I）根據(jù)題意給出矩陣A的特征多項(xiàng)式f（λ）=（λ-1）（λ-4）+2，從而解出兩個特征值分別為3和2．再分別將3和2回代到二元一次方程組，即可解出相應(yīng)的特征向量．
          （Ⅱ）由（I）的結(jié)論得向量a=3a1+a2，即可算出A5β的值．
          解答：解：（I）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=
          .
          λ-1  -2
            1λ-4 
          .
          =（λ-1）（λ-4）+2
          令f（λ）=0，得λ=3或λ=2
          將λ1=2代入二元一次方程組，得
          (λ-1)x-2y=0
          x+(λ-4)y=0
          ，即x-2y=0
          ∴矩陣A屬于特征值2的特征向量a1為
          2 
          1 
          ，
          將λ2=3代入二元一次方程組，得
          (λ-1)x-2y=0
          x+(λ-4)y=0
          ，即x-y=0
          ∴矩陣A屬于特征值3的特征向量a2為
          1 
          1 
          ；
          （Ⅱ）由（I）知，向量α=ma1+na2，
          則
          2m+n=7
          m+n=4
          ，解得
          m=3
          n=1
          ，
          ∴A5α=A5（3a1+a2）=3（A5a1）+A5a2
          =3（λ15a1）+λ25a2
          =3×25
          2 
          1 
          +35
          1 
          1 
          =
          435 
          399 
          ．
          點(diǎn)評：本題給出二階矩陣，求矩陣A的特征值和特征向量．著重考查了特征向量的定義、求法及其性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （1）選修4-2：矩陣與變換
          若矩陣A有特征值λ1=2，λ2=-1，它們所對應(yīng)的特征向量分別為e1=
          1
          0
          和e2=
          0
          1
          ．
          （I）求矩陣A；
          （II）求曲線x2+y2=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
          （2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          已知曲線C1的參數(shù)方程為
          x=2sinθ
          y=cosθ
          (θ          為參數(shù)），C2的參數(shù)方程為
          x=2t
          y=t+1
          (t          為參數(shù)）
          （I）若將曲線C1與C2上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），分別得到曲線C′1和C′2，求出曲線C′1和C′2的普通方程；
          （II）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過極點(diǎn)且與C′2垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
          （3）選修4-5：不等式選講
          設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
          （I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
          （II）若g(x)=
          1
          f(x)+m
          的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分
          （1）選修4-2：矩陣與變換
          變換T是將平面上每個點(diǎn)M（x，y）的橫坐標(biāo)乘2，縱坐標(biāo)乘4，變到點(diǎn)M′（2x，4y）．
          （Ⅰ）求變換T的矩陣；
          （Ⅱ）圓C：x2+y2=1在變換T的作用下變成了什么圖形？
          （2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線C1的極坐標(biāo)方程為：5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0，直線?的參數(shù)方程為：
          x=1-
          		3
          t
          y=t
          （t為參數(shù)）．
          （Ⅰ）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程；
          （Ⅱ）直線?上有一定點(diǎn)P（1，0），曲線C1與?交于M，N兩點(diǎn)，求|PM|．|PN|的值．
          （3）選修4-5：不等式選講
          已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a2+
          1
          4
          b2+
          1
          9
          c2          +m-1=0．
          （Ⅰ）求證：a2+
          1
          4
          b2+
          1
          9
          c2≥
          (a+b+c)2
          14
          ；
          （Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2011-2012學(xué)年福建省高三第八次月考理科數(shù)學(xué)試卷
				題型：解答題
			
          

						
          本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分
          


          （1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
          


          變換是將平面上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘，縱坐標(biāo)乘，變到點(diǎn).
          


          （Ⅰ）求變換的矩陣；
          


          （Ⅱ）圓在變換的作用下變成了什么圖形？
          


          （2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          


          已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線的極坐標(biāo)方程為：，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.
          


          （Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；
          


          （Ⅱ）直線上有一定點(diǎn)，曲線與交于M，N兩點(diǎn)，求的值．
          


          （3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
          


           已知為實(shí)數(shù)，且
          


          （Ⅰ）求證：
          


          （Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
          


           
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2012-2013學(xué)年福建省福州三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          （1）選修4-2：矩陣與變換
          若矩陣A有特征值λ1=2，λ2=-1，它們所對應(yīng)的特征向量分別為．
          （I）求矩陣A；
          （II）求曲線x2+y2=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
          （2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          已知曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），C2的參數(shù)方程為為參數(shù)）
          （I）若將曲線C1與C2上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），分別得到曲線C′1和C′2，求出曲線C′1和C′2的普通方程；
          （II）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過極點(diǎn)且與C′2垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
          （3）選修4-5：不等式選講
          設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
          （I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
          （II）若的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：福建省龍巖一中2011-2012學(xué)年高三下學(xué)期第八次月考試卷數(shù)學(xué)（理）
				題型：解答題
			
          

						
           本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分
          


          （1）選修4-2：矩陣與變換
          


          變換是將平面上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘，縱坐標(biāo)乘，變到點(diǎn).
          


          （Ⅰ）求變換的矩陣；
          


          （Ⅱ）圓在變換的作用下變成了什么圖形？
          


          （2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
          


          已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線的極坐標(biāo)方程為：，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.
          


          （Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；
          


          （Ⅱ）直線上有一定點(diǎn)，曲線與交于M，N兩點(diǎn)，求的值．
          


          （3）選修4-5：不等式選講
          


           已知為實(shí)數(shù)，且
          


          （Ⅰ）求證：
          


          （Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
          


           
          


           
          


           
          

			
          

			
          
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