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        1.      (本小題12分)

          如圖3,已知在側(cè)棱垂直于底面

          的三棱柱中,AC=BC, AC⊥BC,點D是A1B1中點.

          (1)求證:平面AC1D⊥平面A1ABB1;

          (2)若AC1與平面A1ABB1所成角的正弦值

          ,求二面角D- AC1-A1的余弦值.

           

           

          【答案】

          (1)據(jù)題意A1C1=B1C1,

          且D為A1B1中點

          ∴C1D⊥A1B1, 又BB1⊥面A1B1C1, C1D 面A1B1C1,

          ∴BB1⊥C1D, ∴ C1D⊥面A1ABB1, …………2分

          又C1D 面AC1D

          ∴面AC1D⊥平面A1ABB1………………………4分

                (2)由(1)知C1D⊥面A1ABB1,

          ∴∠ C1AD為AC1與平面A1ABB1所成的角……6分

          設(shè)AC=CB=1,AA1=x,則AC1=,C1D=

          sin∠ C1AD=, ∴x=2.    …………………8分

          又因為AC、CB、CC1兩兩互相垂直,所以可建立如圖所示的坐標系:

          取面A1C1A的法向量為,設(shè)面ADC1的法向量為,又C1(0,0,2),A(1,0,0),D(1/2,1/2,2),

           ∴,,=0, ∴x-2z=0

          =0 ,∴x+y=0 , 取z=1,則x=2,y=-2, ∴

           ………………………………11分

          又D在面A1AC1上的射影為A1C1的中點,故二面角D- AC1-A1為銳角,

          設(shè)為 ,所以   …………………………………………12分

           

          【解析】略

           

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          (1)寫出
          (2)求出點的橫坐標關(guān)于n的表達式并用數(shù)學歸納法證明

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          (Ⅰ)求證:;

          (Ⅱ)求三棱錐的體積。

           

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