Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

a2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，右焦點為F（1，0），直線l經(jīng)過點F且與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上的一個動點，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；
（3）當直線l繞點F轉動時，試問：在x軸上是否存在定點S，使

SA

•

SB

為常數(shù)，若存在，求出定點S的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的右焦點為F（1，0），可求c值，再根據(jù)離心率為

2

2

，可求出a的值，由a，b，c的關系得到b，則橢圓的方程就能求出．
（2）把|PO|²+|PF|²用P點坐標表示，再根據(jù)P點在橢圓上，橫縱坐標有范圍，就可得到|PO|²+|PF|²的最大值和最小值．
（3）因為直線l繞點F轉動，可設出直線l的點斜式方程，與橢圓方程聯(lián)立，設S點坐標，代入計算

SA

•

SB

，若計算結果為常數(shù)，則存在，否則，不存在．

解答：解：（1）e=

2

2

，c=1即

c

a

=

1

a

=

2

2

，a=

2

，b=1，所以橢圓方程

x2

2

+y2=1
（2）設P(x0，y0)，則

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，
即2y₀²=2-x₀²，F(xiàn)（1，0）|PO|²+|PF|²=x₀²+y₀²+（x₀-1）²+y₀²=2y₀²+x₀²+（x₀-1）²=（x₀-1）²+2
而2y₀²=2-x₀²≥0，∴-

2

≤x0≤

2

當x₀=1時，（|PO|²+|PF|²）_min=2，當x0=-

2

時，(|PO|2+|PF|2)max=5+2

2

（3）①若直線l斜率存在時，設l方程為y=k（x-1）
由

y=k(x-1) x2+2y2=2

消去y得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設S（t，0）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）

SA • SB =(x1-t)(x2-t)+y1y2 =(x1-t)(x2-t)+k2(x1-1)(x2-1) =(1+k2)x1x2-(t+k2)(x1+x2)+t2+k2

=(1+k2)×

2k2-2

1+2k2

-(t+k2)×

4k2

1+2k2

+t2+k2=λ（λ為常數(shù)）
即2（k²+1）（k²-1）-4k²（t+k²）+（1+2k²）（t²+k²）=λ（1+2k²）（2t²-4t-2λ+1）k²+t²-λ-2=0
由

2t2-4t-2λ+1=0 t2-λ-2=0

，解得t=

5

4

，λ=-

7

16

②若斜率κ不存在時，A(1，

2

2

)、B(1，-

2

2

)、S（t，0）

SA

•

SB

=(1-t，

2

2

)•(1-t，-

2

2

)=(1-t)2-

1

2

=-

7

16

，t=

5

4

綜上得，存在S(

5

4

，0)，使

SA

•

SB

=-

7

16

．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的解法，屬于常規(guī)題，應當掌握．