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        1. 設(shè)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
          2x
          2x+
          2
          圖象上的兩點,且
          OP
          =
          1
          2
          (
          OP1
          +
          OP2
          )
          ,點P的橫坐標為
          1
          2

          (1)求證:P點的縱坐標為定值,并求出這個定值;
          (2)若Sn=
          n
          i=1
          f(
          i
          n
          ),n∈N*
          ,求Sn
          (3)記Tn為數(shù)列{
          1
          (Sn+
          2
          )(Sn+1+
          2
          )
          }
          的前n項和,若Tn<a(Sn+1+
          2
          )
          對一切n∈N*都成立,試求a的取值范圍.
          an-1+1=
          an
          n
          ;
          (1+
          1
          a1
          )(1+
          1
          a2
          )(1+
          1
          a3
          )…(1+
          1
          an
          )≤3-
          1
          n
          分析:(1)由
          OP
          =
          1
          2
          (
          OP1
          +
          OP2
          )
          得到P是P1P2的中點?x1+x2=1?y1+y2=1得到y(tǒng)p即可;
          (2)由(1)知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,而Sn=f(
          1
          n
          ) +f(
          2
          n
          ) +…+f(
          n-1
          n
          ) +f(
          n
          n
          )
          能寫成Sn=f(
          n
          n
          ) +f(
          n-1
          n
          )+…+f(
          2
          n
          )  +f(
          1
          n
          )
          ,兩者相加可得Sn;
          (3)先表示Tn的同項公式,求出之和,根據(jù)Tn<a(Sn+1+
          2
          )
          利用基本不等式求出a的取值范圍即可.
          解答:解:(1)∵
          OP
          =
          1
          2
          (
          OP1
          +
          OP2
          )
          ,
          ∴P是P1P2的中點?x1+x2=1y1+y2=f(x1)+f(x2)=
          2x1
          2x1+
          2
          +
          2x2
          2x2+
          2
          =
          2x1
          2x1+
          2
          +
          21-x1
          21-x1+
          2
          =
          2X1
          2X1+
          2
          +
          2
          2X1+
          2
          =1
          yp=
          1
          2
          (y1+y2)=
          1
          2

          (2)由(1)知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,f(1)=2-
          2
          ,Sn=f(
          1
          n
          ) +f(
          2
          n
          ) +…+f(
          n-1
          n
          ) +f(
          n
          n
          )
          Sn=f(
          n
          n
          ) +f(
          n-1
          n
          )+…+f(
          2
          n
          )  +f(
          1
          n
          )

          相加得2Sn=f(n)+[f(
          1
          n
          )+f(
          n-1
          n
          )] +[f(
          2
          n
          )+f(
          n-2
          n
          )]+…+[f(
          n-1
          n
          )+f(
          1
          n
          )] +f(1)
          =2f(1)+1+1+…+1=n+3-2
          2
          (n-1個1)
          Sn=
          n+3-2
          2
          2

          (3)
          1
          (Sn+
          2
          )(Sn+1+
          2
          )
          =
          1
          n+3
          2
          n+4
          2
          =
          4
          (n+3)(n+4)
          =4(
          1
          n+3
          -
          1
          n+4
          )

          Tn=4[(
          1
          4
          -
          1
          5
          )+(
          1
          5
          -
          1
          6
          )+…+(
          1
          n+3
          -
          1
          n+4
          )] =
          n
          n+4

          Tn<a(Sn+1+
          2
          )?a>
          Tn
          Sn+1+
          2
          =
          2n
          (n+4)2
          =
          2
          n+
          16
          n
          +8

          n+
          16
          n
          ≥8
          ,當且僅當n=4時,取“=”
          2
          n+
          16
          n
          +8
          2
          8+8
          =
          1
          8
          ,因此,a>
          1
          8
          點評:考查學生運用數(shù)列及數(shù)列求和的能力,理解掌握指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的能力,以及會用基本不等式證明的能力.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射,點P在映射f下的象為點Q,記作Q=f(P).設(shè)P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),….如果存在一個圓,使所有的點Pn(xn,yn)(n∈N*)都在這個圓內(nèi)或圓上,那么稱這個圓為點Pn(xn,yn)的一個收斂圓.特別地,當P1=f(P1)時,則稱點P1為映射f下的不動點.若點P(x,y)在映射f下的象為點Q(-x+1,
          12
          y)

          (Ⅰ)求映射f下不動點的坐標;
          (Ⅱ)若P1的坐標為(2,2),求證:點Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一個半徑為2的收斂圓.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          設(shè)P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲線C上的點,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,an=|OPn|2構(gòu)成了一個公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,其中O是坐標原點.記Sn=a1+a2+…+an
          (1)若C的方程為
          x2
          100
          +
          y2
          25
          =1,n=3.點P1(10,0)及S3=255,求點P3的坐標;(只需寫出一個)
          (2)若C的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0).點P1(a,0),對于給定的自然數(shù)n,當公差d變化時,求Sn的最小值;
          (3)請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P1,對于給定的自然數(shù)n,寫出符合條件的點P1,P2,…Pn存在的充要條件,并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          設(shè)P1(x1,y1),P1(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲線C上的點,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…,an=|OPn|2構(gòu)成了一個公差為d(d≠0) 的等差數(shù)列,其中O是坐標原點.記Sn=a1+a2+…+an
          (1)若C的方程為
          x2
          9
          -y2=1,n=3.點P1(3,0) 及S3=162,求點P3的坐標;(只需寫出一個)
          (2)若C的方程為y2=2px(p≠0).點P1(0,0),對于給定的自然數(shù)n,證明:(x1+p)2,(x2+p)2,…,(xn+p)2成等差數(shù)列;
          (3)若C的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0).點P1(a,0),對于給定的自然數(shù)n,當公差d變化時,求Sn的最小值.
          符號意義 本試卷所用符號 等同于《實驗教材》符號
          向量坐標
          a
          ={x,y}
          a
          =(x,y)
          正切 tg tan

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a•2x
          2x+
          2
          的圖象過點(0,
          2
          -1)

          (1)求f(x)的解析式;
          (2)設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)為y=f(x)的圖象上兩個不同點,又點P(xP,yP)滿足:
          OP
          =
          1
          2
          (
          OP1
          +
          OP2
          )
          ,其中O為坐標原點.試問:當xP=
          1
          2
          時,yP是否為定值?若是,求出yP的值,若不是,請說明理由.

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