Question

(本小題滿分12分）

已知點(diǎn)F( 1，0)，與直線4x+3y + 1 ＝0相切，動(dòng)圓M與及y軸都相切. (I )求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(II)過點(diǎn)F任作直線l，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，由點(diǎn)A，B分別向各引一條切線，切點(diǎn) 分別為P，Q，記.求證是定值.

 

Answer 1

【答案】

(I ) ；(II) 當(dāng)不與軸垂直時(shí)，直線的方程為，由得，設(shè)，

∴，

當(dāng)與軸垂直時(shí)，也可得。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）⊙的半徑為，⊙的方程為，

作⊥軸于，則，即，則（是過作直線的垂線的垂足），則點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線．

∴點(diǎn)的軌跡的方程為；                     …6分

（Ⅱ）當(dāng)不與軸垂直時(shí)，直線的方程為，由得

，設(shè)，則

∴，

當(dāng)與軸垂直時(shí)，也可得，

綜上，有．                                           …12分

考點(diǎn)：軌跡方程的求法；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線方程的點(diǎn)斜式；直線與拋物線的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：（1）在設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式時(shí)，要注意討論斜率是否存在；（2）做第二問的關(guān)鍵是：把的值用兩根之和或兩根之積表述出，從而達(dá)到應(yīng)用韋達(dá)定理的目的。