Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象的頂點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離構(gòu)成數(shù)列{d_n}，求數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)槎�次函�?shù)表達(dá)式為f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．可求頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，也就得到
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．再利用等差數(shù)列的定義證明．
（Ⅱ）因?yàn)槎�次函�?shù)表達(dá)式為f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．可求頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，也就得到
數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式，再用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，分組求和即可．

解答：解：（Ⅰ）由二次函數(shù)y=f（x）的對(duì)稱軸為x=3n-10得a_n=3n-10
∵對(duì)n∈N且n≥2，有a_n-a_n-1=3
∴{a_n}為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由題意，d_n=|a_n|，即 dn=

10-3n(1≤n≤3) 3n-10(n≥4)

∴當(dāng)1≤n≤3時(shí)，Sn=

7+10-3n

2

•n=

17n-3n2

2

當(dāng)n≥4時(shí)，S_n=7+4+1-（-2-5+…+10-3n）=

3n2-17n+48

2

∴Sn=

17n-3n2 2 (1≤n≤3) 3n2-17n+48 2 (n≥4)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，做題時(shí)要耐心細(xì)致，認(rèn)真分析．