Question

（2011•延慶縣一模）橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1，F(xiàn)₁、F₂分別為C的左、右焦點，點A的坐標(biāo)為（1，1），P是C上的任意一點，給出下列結(jié)論：
①|(zhì)PF₁|-|PF₂|有最大值5，②|PF₁|•|PF₂|有最大值9，③|PF₁|²+|PF₂|²有最大值18，④|PF₁|+|PA|有最小值6-

2

，其中正確結(jié)論的序號是

②④

．

Answer 1

分析：①利用三角形兩邊之差小于第三邊可證明當(dāng)點P在x軸上時，|PF₁|-|PF₂|有最大值2c，由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程計算焦距即可；
②利用橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求積|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
③利用焦半徑公式設(shè)P點橫坐標(biāo)為x₀，則|PF₁|²+|PF₂|²可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的一元函數(shù)，由x₀的范圍即可求得|PF₁|²+|PF₂|²的最大值；
④由橢圓的定義結(jié)合三角形的性質(zhì)，即可判斷

解答：解：①當(dāng)P點不在x軸上時，P，F(xiàn)1，F(xiàn)2，三點構(gòu)成三角形，此時|PF₁|-|PF₂|＜|F₁F₂|，
∵|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|＜4，
當(dāng)P點在x軸上時，|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|≤4，即①|(zhì)PF₁|-|PF₂|有最大值4，①錯誤．
②∵P點在橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上，∴|PF₁|+|PF₂|=|2a=6，
∵|PF₁|＞0，|PF₂|＞0，∴|PF₁|•|PF₂|≤

(|PF1|+|PF2|)2

4

=9，∴|PF₁|•|PF₂|有最大值9，②正確．
③根據(jù)橢圓方程，可得橢圓的離心率為

2

3

設(shè)P點橫坐標(biāo)為x₀，則|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（a+ex₀）²+（a-ex₀）²=2a²+2e²x₀²=18+

8

9

x₀²
∵P點在橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上，∴x₀²≤9，∴18+

8

9

x₀²≤26，∴PF₁|²+|PF₂|²有最大值26，
∴③錯誤，
④由橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，，|PF₁|+|PA|+|F₂A|≥|PF₁|+|PF₂|
∴|PF₁|+|PA|≥|PF₁|+|PF₂|-|F₂A|=6-

2

，所以有最小值6-

2

，正確．
故答案為：②④．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的意義，橢圓定義的應(yīng)用，橢圓的幾何性質(zhì)，利用均值定理和函數(shù)求最值的方法．