Question

已知直線(xiàn)l₁：x-y=0，l₂：x+y=0，點(diǎn)P是線(xiàn)性約束條件

x-y≥0 x+y≥0

所表示區(qū)域內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分別為M、N，且S△OMN=

1

2

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)l與（Ⅰ）中軌跡交于點(diǎn)A、B，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交y軸于Q點(diǎn)，且使得△ABQ是等邊三角形．若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），由題意有l(wèi)₁⊥l₂，且PM⊥l₁，PN⊥l₂，四邊形PMON是矩形，所以S_PMON=2S_△MON=|PM|•|PN|=1，故

|x0-y0|

2

•

|x0+y0|

2

=1，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l．當(dāng)l⊥x軸時(shí)，有l(wèi)：x=2．此時(shí)|AB|=2

2

，|AQ|=|BQ|=

6

，△ABQ不是正三角形．當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-2），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2-y2=2 y=k(x-2)

，得（1-k²）x²+4k²-2=0，△=8k²+8＞0恒成立，由此能夠推導(dǎo)出|MQ|=

3

2

|AB|．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），由題意有l(wèi)₁⊥l₂，且PM⊥l₁，PN⊥l₂，
∴四邊形PMON是矩形，
∴S_PMON=2S_△MON=|PM|•|PN|=1，
∴

|x0-y0|

2

•

|x0+y0|

2

=1，
∴|x₀²-y₀²|=2，
∵P在

x-y≥0 x+y≥0

所表示的區(qū)域內(nèi)，
∴x₀²-y₀²=2（x₀＞0），
所以求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²-y²=2（x＞0）．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l．
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，有l(wèi)：x=2．
此時(shí)|AB|=2

2

，|AQ|=|BQ|=

6

，△ABQ不是正三角形．
當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l：y=k（x-2），
并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2-y2=2 y=k(x-2)

，
得（1-k²）x²+4k²-2=0，
△=8k²+8＞0恒成立，
∵l與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，
∴|k|＞1．
∴x1+x2=

4k2

k2-1

，y1+y2=

4k

k2-1

，

∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M( 

2k2

k2-1

，

2k

k2-1

)，
∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y-

2k

k2-1

=-

1

k

(x-

2k2

k2-1

)，
∴Q(0，

4k

k2-1

)，
∵△ABQ是等邊三角形，
∴|MQ|=

3

2

|AB|．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．