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        1. 精英家教網(wǎng)[理]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱A1D1的中點,H為平面EDB內(nèi)一點,
          HC1
          ={2m,-2m,-m}(m<0)

          (1)證明HC1⊥平面EDB;
          (2)求BC1與平面EDB所成的角;
          (3)若正方體的棱長為a,求三棱錐A-EDB的體積.
          [文]若數(shù)列{an}的通項公式an=
          1
          (n+1)2
          (n∈N+)
          ,記f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an).
          (1)計算f(1),f(2),f(3)的值;
          (2)由(1)推測f(n)的表達(dá)式;
          (3)證明(2)中你的結(jié)論.
          分析:[理](1)由向量的數(shù)量積可得
          HC1
          DE
          =0 ,
          HC1
          DB
          =0
          ,可得HC1⊥DE,HC1⊥DB,即由線線垂直得到線面垂直.
          (2)由題意得面EDB的垂線是BC1,即平面的法向量
          BC1
          ={ -a ,0 , a }
          ,進(jìn)而求
          BC1
          HC1
          所成的角θ即可.
          (3)由于三棱錐A-EDB的體積不易求出,把三棱錐換一個頂點求三棱錐E-ABD的體積,高是AA1,底面為S△ABD
          [文](1)將1,2,3分別代入數(shù)列{an}的通項公式an=
          1
          (n+1)2
          (n∈N+)
          計算f(1),f(2),f(3)的值即可.
          (2)f(1)=1-a1=
          3
          4
          f(2)=
          2
          3
          ,f(3)=
          5
          8
          ,f(4)=
          3
          5
          ,可以發(fā)現(xiàn)n與函數(shù)f(n)的關(guān)系f(n)的表示式.
          (3)防寫出所求的式子的類似的式子,把所寫出的式子相乘,化簡整理得到所寫出的結(jié)果,結(jié)論正確.
          解答:[理]解:(1)設(shè)正方體的棱長為a,
          DE
          ={
           a
          2
           , 0 , a }
          DB
          ={ a , a , 0 }

          HC1
          DE
          =0 , 
          HC1
          DB
          =0
          ,
          HC1
          DE
           , 
          HC1
          DB
          ,又DE∩DB=D,
          ∴HC1⊥平面EDB.
          (2)
          BC1
          ={ -a ,0 , a }
          ,
          設(shè)
          BC1
          HC1
          所成的角為θ,
          cosθ=
          BC1
          HC1
          |
          BC1
          |•|
          HC1
          |
          =
          2ma+ma
          2
          a•3m
          =
          2
          2

          ∴θ=45°.
          由(1)知HC1⊥平面EDB,
          ∴∠C1BH為BC1與平面EDB所成的角.
          ∠C1BH=90°-45°=45°.
          (3)VA-EDB=VE-ABD=
          1
          3
          1
          2
          a2•a=
          1
          6
          a3

          [文]解:(1)a1=
          1
          4
          ,a2=
          1
          9
          ,a3=
          1
          16
          ,a4=
          1
          25
          ,f(1)=1-a1=
          3
          4
          f(2)=(1-a1)(1-a2)=
          2
          3

          f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=
          5
          8
          ,f(4)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)(1-a4)=
          3
          5
          ,
          (2)故猜想f(n)=
          n+2
          2(n+1)
          (n∈N*)

          (3)證明:1-an=1-
          1
          (n+1)2
          =
          n2+2n
          (n+1)2
          =
          n+2
          n+1
          n
          n+1

          1-an-1=
          n+1
          n
          n-1
          n

          1-an-2=
          n
          n-1
          n-2
          n-1

          1-an-3=
          n-1
          n-2
          n-3
          n-2
          1-a3=
          5
          4
          3
          4

          1-a2=
          4
          3
          2
          3

          1-a1=
          3
          2
          1
          2

          將上述n個因式相乘得:(1-a1)(1-a2)(1-an)=
          n+2
          n+1
          1
          2
          =
          n+2
          2(n+1)

          即f(n)=
          n+2
          2(n+1)
          (n∈N*)
          點評:本題是兩個題目,一個適合文科做,一個適合理科做,第一個題目解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系,在坐標(biāo)系里解決立體幾何題目,第二個題目是猜測證明的一個過程,注意根據(jù)所給的幾項的值寫出數(shù)列的通項,并且加以證明.
          練習(xí)冊系列答案
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                 C.直線與平面所成的角

                 D.三棱錐的體積

           

           

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