Question

已知函數(shù)圖像上一點處的切線方程為(1)求的值；(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍；(3)令如果的圖像與軸交于兩點，的中點為，求證：

Answer 1

(1) a＝2,b＝1. (2)  (3)詳見解析.

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，即，又，所以可得a＝2,b＝1. (2)利用函數(shù)與方程思想，即研究函數(shù)圖像與直線有兩個不同的交點，因為，所以當(dāng)x∈時,, f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈時, , f(x)是減函數(shù).且，所以 (3)正難則反，假設(shè)這樣從等量關(guān)系進行邏輯推理，先列出等量關(guān)系，五個未知數(shù)，四個方程，應(yīng)建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是消元，觀察可知應(yīng)消去，得，轉(zhuǎn)化為，這是關(guān)于的一元函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可研究其單調(diào)性＞0，故，即方程無解，假設(shè)不成立.
試題解析：解：(1),,.
∴,且.解得a＝2,b＝1.   .    (4分)
(2),設(shè),
則,令,得x＝1(x＝－1舍去).
當(dāng)x∈時,, h(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈時,, h(x)是減函數(shù).
則方程在內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是
解得.                 (8分)
(3),.假設(shè)結(jié)論成立,
則有,①－②,得.
∴.由④得,于是有,∴,
即.⑤ 令, (0＜t＜1),則＞0.
∴在0＜t＜1上是增函數(shù),有,∴⑤式不成立,與假設(shè)矛盾.
∴.                          (12分)